pětkrát do oka
Na konci roku 2020 se na univerzitách a školách uskutečnilo několik akcí, které byly odloženy z ... března. Jednou z nich byla „oslava“ dne pí. Při této příležitosti jsem 8. prosince přednášel na dálku na Slezské univerzitě a tento článek je shrnutím přednášky. Celá párty začala v 9.42 a moje přednáška je naplánována na 10.28. Kde se bere taková přesnost? Je to jednoduché: 3 krát pí je asi 9,42 a π na 2. mocninu je asi 9,88 a hodina 9 na 88. mocninu je 10 na 28 ...
Zvyk ctít toto číslo, vyjadřující poměr obvodu kruhu k jeho průměru a někdy nazývaný Archimédova konstanta (stejně jako v německy mluvících kulturách), pochází z USA (viz také: ). 3.14 Březen „Americký styl“ ve 22:22, proto ten nápad. Polský ekvivalent by mohl být 7. červenec, protože zlomek 14/XNUMX dobře aproximuje π, což… Archimedes už věděl. No, březen XNUMX je nejlepší čas na vedlejší akce.
Tyto tři a čtrnáct setiny jsou jednou z mála matematických zpráv, které nám zůstaly ze školy na celý život. Každý ví, co to znamená"pětkrát do oka". Je to tak zakořeněné v jazyce, že je těžké to vyjádřit jinak a se stejnou grácií. Když jsem se v autoservisu zeptal, kolik by oprava mohla stát, mechanik se zamyslel a řekl: "pětkrát asi osm set zlotých." Rozhodl jsem se využít situace. "Myslíš hrubou aproximaci?". Mechanik si musel myslet, že jsem se přeslechl, a tak zopakoval: "Nevím přesně kolik, ale pětkrát by to bylo 800."
.
O čem to je? Pravopis z doby před druhou světovou válkou používal dohromady „ne“ a nechal jsem to tam. Neřešíme tu zbytečně velkolepou poezii, i když se mi líbí myšlenka, že „zlatá loď pumpuje štěstí“. Zeptejte se studentů: Co tato myšlenka znamená? Ale hodnota tohoto textu je jinde. Počet písmen v následujících slovech jsou číslice přípony pí. Uvidíme:
Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128
V roce 1596 holandský vědec německého původu Ludolph van Seulen vypočítal hodnotu pí na 35 desetinných míst. Poté byly tyto postavy vyryty na jeho hrob. Číslu pí a našemu nositeli Nobelovy ceny věnovala báseň, Vislava Šimborská. Szymborskou zaujala neperiodicita tohoto čísla a skutečnost, že s pravděpodobností 1 se tam bude vyskytovat každá posloupnost číslic, například naše telefonní číslo. Zatímco první vlastnost je vlastní každému iracionálnímu číslu (což bychom si měli pamatovat ze školy), druhá je zajímavý matematický fakt, který se těžko dokazuje. Můžete dokonce najít aplikace, které nabízejí: dejte mi své telefonní číslo a já vám řeknu, kde je v pí.
Kde je kulatost, tam je spánek. Pokud máme kulaté jezero, pak je chůze kolem něj 1,57krát delší než koupání. To samozřejmě neznamená, že budeme plavat jedenapůlkrát až dvakrát pomaleji, než projedeme. Sdílel jsem světový rekord na 100 m se světovým rekordem na 100 m. Zajímavé je, že u mužů a žen je výsledek téměř stejný a je 4,9. Plaveme 5x pomaleji než běžíme. Veslování je úplně jiné – ale zajímavá výzva. Má to docela dlouhý příběh.
Pohledný a ušlechtilý Dobrý, prchající před pronásledujícím padouchem, odplul k jezeru. Padouch běží podél břehu a čeká, až ho přinutí přistát. Samozřejmě běží rychleji než Dobry vesluje, a pokud běží plynule, Dobry je rychlejší. Jedinou šancí pro Zlo je tedy dostat Dobro ze břehu – přesná střela z revolveru nepřichází v úvahu, protože. Dobro má cenné informace, které chce Zlo vědět.
Good dodržuje následující strategii. Plave přes jezero, postupně se přibližuje ke břehu, ale vždy se snaží být na opačné straně než Zlý, který náhodně běží doleva, pak doprava. To je znázorněno na obrázku. Nechť počáteční pozice Zla je Z1, a Dobre je uprostřed jezera. Když se Zly přesune do Z1, Dobro popluje do D.1když je Bad v Z2, dobře na D2. Poteče klikatě, ale za dodržení pravidla: co nejdále od Z. Jak se však vzdaluje od středu jezera, Dobro se musí pohybovat ve větších a větších kruzích a v určitém okamžiku nemůže dodržovat zásadu „být na druhé straně Zla“. Pak ze všech sil vesloval ke břehu a doufal, že Zlý neobejde jezero. Uspěje Good?
Odpověď závisí na tom, jak rychle může Good veslovat ve vztahu k hodnotě Badových nohou. Předpokládejme, že Zlý muž běží rychlostí násobku rychlosti Dobrého muže na jezeře. V důsledku toho má největší kruh, na kterém může dobro veslovat, aby odolalo zlu, poloměr jednou menší než poloměr jezera. Takže na výkresu, který máme. V bodě W začíná náš Druh veslovat směrem ke břehu. Tohle musí jít
s rychlostí
Potřebuje čas.
Wicked honí všechny své nejlepší nohy. Musí absolvovat polovinu kruhu, což mu zabere vteřiny nebo minuty v závislosti na zvolených jednotkách. Pokud je to víc než šťastný konec:
Ten dobrý odejde. Jednoduché účty ukazují, co by mělo být. Pokud Bad Man běží rychleji než 4,14 krát Good Man, neskončí to dobře. A zde také zasahuje naše číslo pí.
Co je kulaté, to je krásné. Podívejme se na fotku tří ozdobných talířů - mám je po rodičích. Jaká je plocha křivočarého trojúhelníku mezi nimi? To je jednoduchý úkol; odpověď je na stejné fotce. Nedivíme se, že se ve vzorci objevuje – vždyť kde je kulatost, tam je pí.
Použil jsem možná neznámé slovo:. Toto je název čísla pí v německy mluvící kultuře a to vše díky Holanďanům (ve skutečnosti Němci, který žil v Nizozemsku - národnost v té době nehrála roli), Ludolf ze Soulenu... V roce 1596 g. vypočítal 35 číslic svého rozšíření na desetinné číslo. Tento rekord držel až do roku 1853, kdy William Rutherford čítalo 440 míst. Rekordmanem pro ruční výpočty je (pravděpodobně navždy) William Shankskterý po mnoha letech práce vydal (r. 1873) rozšíření na 702 číslic. Teprve v roce 1946 bylo zjištěno, že posledních 180 číslic je nesprávných, ale zůstalo to tak. 527 správně. Bylo zajímavé najít samotnou chybu. Brzy po zveřejnění Shanksova výsledku měli podezření, že „něco není v pořádku“ – ve vývoji bylo podezřele málo sedmiček. Zatím neprokázaná (prosinec 2020) hypotéza říká, že všechna čísla by se měla objevovat se stejnou frekvencí. To přimělo D. T. Fergusona k revizi Shanksových výpočtů a nalezení chyby „žáka“!
Později lidem pomáhaly kalkulačky a počítače. Současným (prosinec 2020) rekordmanem je Timothy Mullican (50 bilionů desetinných míst). Výpočty trvaly ... 303 dní. Pojďme si hrát: kolik místa by toto číslo zabralo, vytištěné ve standardní knize. Donedávna měla tištěná „strana“ textu 1800 znaků (30 řádků na 60 řádků). Snižme počet znaků a okraje stránky, nacpeme 5000 znaků na stránku a vytiskněme 50stránkové knihy. XNUMX bilionů postav by tedy zabralo deset milionů knih. Není to špatné, že?
Otázkou je, jaký smysl má takový boj? Z čistě ekonomického hlediska, proč by takovou „zábavu“ matematiků měl platit daňový poplatník? Odpověď není obtížná. Za prvé, ze Soulenu vynalezené polotovary pro výpočty, pak užitečné pro logaritmické výpočty. Kdyby mu bylo řečeno: prosím, stavte slepá místa, odpověděl by: proč? Podobně příkaz:. Jak víte, tento objev nebyl zcela náhodný, ale přesto byl vedlejším produktem výzkumu jiného typu.
Zadruhé si přečteme, co píše Timothy Mullican. Zde je reprodukce začátku jeho tvorby. Profesor Mullican se zabývá kybernetickou bezpečností a pí je tak malým koníčkem, na kterém právě testoval svůj nový systém kybernetické bezpečnosti.
A že 3,14159 ve strojírenství je víc než dost, to je jiná věc. Udělejme jednoduchý výpočet. Jupiter je od Slunce vzdálen 4,774 Tm (terametr = 1012 metrů). Pro výpočet obvodu takového kruhu s takovým poloměrem s absurdní přesností 1 milimetru by stačilo vzít π = 3,1415926535897932.
Na následující fotografii je čtvrtkruh z kostek Lego. Použil jsem 1774 podložky a bylo to asi 3,08 pi. Není to nejlepší, ale co čekat? Kruh nemůže být tvořen čtverci.
Přesně tak. Je známo, že číslo pí je kruh čtverec - matematický problém, který čekal na své řešení více než 2000 let - od řeckých dob. Dokážete pomocí kružítka a pravítka sestrojit čtverec, jehož plocha se rovná ploše daného kruhu?
Pojem „čtverec kruhu“ vstoupil do mluvené řeči jako symbol něčeho nemožného. Stisknu klávesu, abych se zeptal, je to nějaký pokus zaplnit příkop nepřátelství, který odděluje občany naší krásné země? Tomuto tématu se ale už vyhýbám, protože se asi cítím jen v matematice.
A opět to samé - řešení problému kvadratura kruhu se neobjevilo tak, aby autor řešení, Charles Lindemann, v roce 1882 byl zřízen a nakonec uspěl. Do jisté míry ano, ale byl to výsledek útoku ze široké fronty. Matematici zjistili, že existují různé druhy čísel. Nejen celá čísla, racionální (tedy zlomky) a iracionální. Neměřitelnost může být také lepší nebo horší. Ze školy si možná pamatujeme, že iracionální číslo je √2, číslo vyjadřující poměr délky úhlopříčky čtverce k délce jeho strany. Jako každé iracionální číslo má neurčitou příponu. Připomínám, že periodický rozvoj je vlastnost racionálních čísel, tzn. soukromá celá čísla:
Zde se donekonečna opakuje posloupnost čísel 142857. Pro √2 se to nestane - to je součást iracionality. Ale můžete:
(zlomek pokračuje navždy). Vidíme zde vzor, ale jiného typu. Pi není ani tak běžné. Nelze ji získat řešením algebraické rovnice – tedy takové, ve které není ani odmocnina, ani logaritmus, ani goniometrické funkce. Už to ukazuje, že to není sestrojitelné - kreslení kružnic vede ke kvadratickým funkcím a přímky - přímky - k rovnicím prvního stupně.
Možná jsem odbočil od hlavního děje. Teprve rozvoj veškeré matematiky umožnil vrátit se k počátkům – k prastaré krásné matematice myslitelů, kteří pro nás vytvořili evropskou kulturu myšlení, o níž dnes někteří tolik pochybují.
Z mnoha reprezentativních vzorů jsem vybral dva. První z nich spojujeme s příjmením Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Ale znal ho (model, ne Leibniz) středověký hinduistický učenec Madhava ze Sangamagramu (1350-1425). Přenos informací v té době nebyl velký - připojení k internetu bylo často zabugované a chyběly baterie do mobilních telefonů (protože elektronika ještě nebyla vynalezena!). Vzorec je krásný, ale pro výpočty nepoužitelný. Ze sta ingrediencí se získá „jen“ 3,15159.
je mu trochu lépe wzór Viete'a (ten z kvadratických rovnic) a jeho vzorec se snadno naprogramuje, protože další člen v součinu je druhá odmocnina předchozího plus dva.
Víme, že kruh je kulatý. Dá se říci, že jde o stoprocentní kolo. Matematik se zeptá: může něco být ne 100 procento zaokrouhlené? Zřejmě jde o oxymoron, frázi obsahující skrytý rozpor, jako je například horký led. Ale zkusme změřit, jak kulaté tvary mohou být. Ukazuje se, že dobrou míru poskytuje následující vzorec, ve kterém S je plocha a L je obvod obrázku. Zjistíme, že kruh je skutečně kulatý, že sigma je 1. Oblast kruhu je obvod. Vložíme ... a uvidíme, co je správné. Jak kulatý je čtverec? Výpočty jsou stejně jednoduché, ani je nebudu dávat. Vezměte pravidelný šestiúhelník vepsaný do kruhu o poloměru. Obvod je zjevně 6.
Pól
Co takhle obyčejný šestiúhelník? Jeho obvod je 6 a jeho plocha
Takže máme
což se přibližně rovná 0,952. Šestiúhelník je z více než 95 % „kulatý“.
Zajímavý výsledek se získá při výpočtu kruhovitosti sportovního stadionu. Podle pravidel IAAF musí být rovinky a oblouky dlouhé 40 metrů, i když jsou povoleny odchylky. Pamatuji si, že stadion Bislet v Oslu byl úzký a dlouhý. Píšu „byl“, protože jsem na něm dokonce běžel (pro amatéra!), ale před více než XNUMX lety. Pojďme se podívat:
Pokud má oblouk poloměr 100 metrů, poloměr tohoto oblouku je metrů. Plocha trávníku je metrů čtverečních a plocha mimo něj (kde jsou odrazové můstky) činí celkem metrů čtverečních. Zapojme to do vzorce:
Má tedy kulatost sportovního stadionu něco společného s rovnostranným trojúhelníkem? Protože výška rovnostranného trojúhelníku je stejná, kolikrát je jeho strana. Je to náhodná shoda čísel, ale je to hezké. Líbí se mi to. A čtenáři?
No, je dobře, že je kulatý, i když někteří by mohli namítat, protože virus, který nás všechny postihuje, je kulatý. Alespoň tak to kreslí.
