Abelova cena

Málokterý čtenář řekne něco ke jménu Abel. Ne, tohle není o nešťastném mladém muži, kterého zabil jeho vlastní bratr Kain. Mám na mysli norského matematika Nilse Henrika Abela (1802–1829) a po něm pojmenovanou cenu, kterou právě (16. března 2016) udělila Norská akademie věd a dopisy siru Andrew J. Wilesovi. To kompenzuje matematiky za to, že je Alfred Nobel vynechal v žebříčku kategorií nejvýznamnější světové ceny za vědu.

Přestože matematici oceňují tkz. Fieldsova medaile (oficiálně považován za nejvyšší vavřín ve svém oboru), je spojen pouze s 15 tis. (ne miliony, tisíce!) kanadských dolarů až do vítěze Abel Awards strčí do kapsy šek na 6 milionů norských korun (asi 750 8 eur). Laureáti Nobelovy ceny dostávají 865 milionů SEK, tedy asi XNUMX tisíc. euro - méně než tenisté za vítězství na velkém turnaji. Existuje několik pravděpodobných důvodů, proč Alfred Nobel nezahrnul matematiky mezi možné vítěze ceny. Nobelův testament pojednával o „vynálezech a objevech“, které přinášejí lidstvu největší užitek, ale pravděpodobně ne teoretický, ale praktický. Matematika nebyla považována za vědu, která by mohla přinést praktické výhody lidstvu.

Proč Abel

Kdo byl Niels Henrik Abel a jak se stal slavným? Musel být skvělý, protože ačkoli zemřel na tuberkulózu v pouhých 27 letech, v matematice měl své stálé místo. No, už na střední škole nás učí řešit rovnice; nejprve první stupeň, pak čtvercový a někdy krychlový. Už před čtyřmi sty lety si italští vědci dokázali poradit kvartická rovnicei ten, který vypadá nevinně:

a který jeden z prvků

Ano, vědci to mohli udělat již v XNUMX století. Není těžké uhodnout, že byly brány v úvahu rovnice vyšších stupňů. A nic. Za dvě stě let se to nikomu nepodařilo. Neuspěl ani Niels Abel. A pak si uvědomil, že... možná to vůbec není možné. Dá se to dokázat nemožnost takovou rovnici vyřešit - nebo spíše vyjádření řešení v jednoduchých aritmetických vzorcích.

Byl to první z 2. let (!) tohoto typu úvah: něco nelze dokázat, něco nelze. Monopol na takové důkazy patří matematice – praktické vědy stále více bourají bariéry. V roce 1888 prohlásil předseda americké patentové komise, že „v budoucnu lze očekávat jen málo vynálezů, protože téměř vše již bylo vynalezeno“. Dnes je pro nás těžké se tomu i zasmát... Ale v matematice, jednou prokázaná, se to ztrácí. To se nedá.

Historie rozděluje objev, který jsem popsal Niels Abel i Evarista Galoisová, oba zemřeli před XNUMX. rokem života, podceněni svými současníky. Niels Abel je jedním z mála norských matematiků se širokou slávou (ve skutečnosti dva, druhý je Sophus Lee, 1842-1899 - příjmení nezní skandinávsky, ale oba byli rodilí Norové).

Norové jsou v rozporu se Švédy – to je bohužel u sousedních národů běžné. Jedním z motivů pro zřízení Abelovy ceny Nory byla touha ukázat svým krajanům Alfredu Nobelovi: prosím, nejsme o nic horší.

Honba za neexistující marží

Zde je pro vás Niels Henrik Abel. Nyní o vítězi ceny, 63letém Angličanovi (žijícím v USA). Jeho počin v roce 1993 se dal přirovnat jedině k výstupu na Everest, k výstupu na Měsíc nebo něčemu podobnému. kdo je pane Andrew Wiles? Když se podíváte na seznam jeho publikací a různé možné citační rejstříky, bude to dobrý vědec – jsou jich tisíce. Je však považován za jednoho z největších matematiků. Jeho výzkum souvisí s teorií čísel a používá vztahy s algebraická geometrie Oraz teorie reprezentace.

Proslavil se řešením problému, který byl z hlediska matematiky zcela bezvýznamný důkaz poslední Fermatovy věty (kdo neví, co se děje - připomeňte si níže). Skutečnou hodnotou však nebylo samotné řešení, ale vytvoření nové testovací metody, která byla použita k řešení mnoha dalších důležitých problémů.

Není možné se na tomto místě nezamyslet nad důležitostí určitých věcí, nad hierarchií lidských úspěchů. Statisíce mladých lidí sní o tom, že budou kopat do míče lépe než ostatní, desetitisíce se chtějí vystavit himalájským větrům, skákat z gumy na mostě, vydávat zvuky, kterým říkají zpěv, cpát do ostatních nezdravé jídlo ... popř. vyřešit pro kohokoli zbytečnou rovnici. První dobyvatel Mount Everestu, Sir Edward Hillary, odpověděl přímo na otázku, proč tam jel: "Protože je, protože Everest je!" Autor těchto slov byl celý život matematik, byl to můj recept na život. Jediný správný! Ale nechme tuto filozofii za námi. Vraťme se na zdravou cestu matematiky. Proč ten povyk kolem Fermatovy věty?

Asi všichni víme, co jsou zač prvočísla. Fráze „rozložit se na prvočinitele“ jistě každý chápe, zvlášť když náš syn mění hodinky na součástky.

Pierre de Ferma (1601-1665) byl právníkem z Toulouse, ale zabýval se i amatérskou matematikou a to s docela dobrými výsledky, protože se do dějin matematiky zapsal jako autor mnoha vět z teorie čísel a analýzy. Své poznámky a komentáře dával na okraje knih, které četl. A přesně - kolem roku 1660 napsal na jeden z okrajů:

Zde je pro vás Pierre de Fermat. Od jeho dob (a připomenu, že ve Francii tehdy žil statečný gaskoňský šlechtic d'Artagnan a v Polsku bojoval Andrzej Kmitsich s Bohuslavem Radziwillem) se stovky, možná i tisíce velkých i malých matematiků neúspěšně pokoušely rekonstruovat ztracené uvažování geniálního amatéra. I když jsme si dnes jisti, že Fermatův důkaz nemůže být správný, bylo nepříjemné, že jednoduchá otázka zda rovnice xⁿ + vašeⁿ = dⁿ, n> 2 má řešení v přirozených číslech? může být tak těžké.

Mnoho matematiků, kteří přišli do práce 23. června 1993, našli ve svém e-mailu (který byl tehdy čerstvým, ještě teplým vynálezem) lakonickou zprávu: "Fámy z Británie: Wiles dokazuje Fermat." Druhý den o tom psal denní tisk a poslední z Wilesova cyklu přednášek shromáždila tisk, televizi i fotoreportéry – stejně jako na konferenci slavného fotbalisty.

Každý, kdo četl „Satana ze sedmé třídy“ od Kornela Makuszyńského, si jistě pamatuje, co dělal pan Iwo Gąsowski, bratr profesora historie, jehož systém dotazování studentů objevil Adaś Cisowski. Iwo Gąsowski právě řešil Fermatovu rovnici, ztrácel čas, majetek a zanedbával dům:

Nakonec pan Iwo pochopil, že účty o pravomocích štěstí rodiny nezajistí a vzdal se. Makuszyński neměl rád vědu, ale s panem Gąsowským měl pravdu. Iwo Gąsowski udělal jednu zásadní chybu. Nesnažil se stát specialistou v dobrém slova smyslu, ale choval se amatérsky. Andrew Wiles je profesionál.

Zajímavý je příběh boje proti Fermatově poslední větě. Zcela jednoduše je vidět, že je stačí vyřešit pro exponenty, které jsou prvočísly. Pro n = 3 bylo řešení dáno v roce 1770. Leonhard Euler, pro n = 5 – Peter Gustav Lejen Dirichlet (1828) a Adrienne Marie Legendre v roce 1830 a při n = 7 – Gabriel Kulhavý v roce 1840. V XNUMX. století německý matematik věnoval většinu své energie Fermatově problému Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Ačkoli nedosáhl konečného úspěchu, dokázal mnoho speciálních případů a objevil mnoho důležitých vlastností prvočísel. Velká část moderní algebry, teoretické aritmetiky a algebraické teorie čísel vděčí za svůj původ Kummerově práci na Fermatově teorému.

Při řešení Fermatova problému metodami klasické teorie čísel byly rozděleny na dva různé případy složitosti: první, kdy předpokládáme, že součin xyz je součin s exponentem n, a druhý, kdy číslo z je stejně dělitelné exponent. Ve druhém případě bylo známo, že do n = 150 000 neexistují žádná řešení a v prvním případě do n = 6 000 000 000 (Lehmer, 1981). To znamenalo, že případný protipříklad by byl v každém případě nemožný: jeho získání by vyžadovalo účty v miliardách číslic.

Zde je pro vás starý příběh. Počátkem roku 1988 bylo v matematickém světě známo, že Yoti Miyaoka dokázal nějakou nerovnost, z čehož vyplynulo následující: pokud je dostatečně velký pouze exponent n, pak Fermatova rovnice jistě nemá řešení. Oproti o něco dřívějšímu výsledku Němce Gerd Faltings (1983) Miyaokův výsledek znamenal, že pokud existují řešení, pak (z hlediska proporcionality) jich existuje pouze konečný počet. Řešení Fermatova problému se tak redukuje na vyjmenování konce mnoha případů. Bohužel, kolik z nich nebylo známo: metody používané Miyaokou neumožňovaly odhadnout, kolik z nich již bylo "v pořádku".

Zde stojí za zmínku, že po mnoho let se studium Fermatovy věty neprovádělo v rámci čisté teorie čísel, ale v rámci algebraické geometrie, matematické disciplíny odvozené z algebry a rozšíření karteziánské analytické geometrie, a nyní se šíří téměř všude: od základů matematiky (teorie topoi v logice), přes matematickou analýzu (kohomologické metody, funkční svazky), klasickou geometrii až po teoretickou fyziku (vektorové svazky, twistorové prostory, solitony).

Když vyznamenání nezajímá

Těžké je také nesmutnit nad osudem matematika, jehož podíl na řešení Fermatovy úlohy je velmi významný. Mluvím o ArakieloviSuren Jurijevič Arakelov, ukrajinský matematik s arménskými kořeny), který na počátku 80. let, když byl ve čtvrtém ročníku, vytvořil tzv. teorie průniku na aritmetických varietách. Takové povrchy jsou plné děr a nedokonalostí a křivky na nich mohou náhle zmizet, a pak se zase objevit. Teorie průniku vysvětluje, jak vypočítat stupeň průniku takových křivek. To byl hlavní nástroj, který použili Faltings a Miyaoka ve své práci na Fermatově problému.

Jednou byl Arakelov pozván, aby prezentoval své výsledky na velkém matematickém kongresu. Nicméně, protože byl kritický vůči sovětskému systému, bylo mu odepřeno povolení odejít. Brzy byl povolán do armády. Vyzývavě demonstroval, že je obecně proti vojenské službě z pacifistických důvodů. Jak jsem se dozvěděl z dost pochybných zdrojů, byl údajně poslán do uzavřené psychiatrické léčebny, kde strávil asi rok. Jak víte, zřejmě pro politické účely sovětští psychiatři vybrali zvláštní typ schizofrenie (v angličtině from, což znamená „lenivý“, v ruštině pomalá schizofrenie).

Těžko stoprocentně říct, jak to bylo doopravdy, protože moje zdroje informací nejsou moc spolehlivé. Po opuštění nemocnice zřejmě Arakelov strávil několik měsíců v klášteře v Zagorsku. V současné době žije v Moskvě se svou ženou a třemi dětmi. Nedělá matematiku. Andrew Wiles je plný vyznamenání a peněz.

Z hlediska dobře živené evropské společnosti je krok také nepochopitelný Grigorij Perelman, který v roce 2002 vyřešil nejznámější topologický problém XNUMX. století,“Poinariho domněnkaA pak odmítl všechna možná ocenění. Nejprve na začátku zmíněná Fieldsova medaile, kterou matematici považují za ekvivalent Nobelovy ceny, a poté odměna jeden milion dolarů za vyřešení jednoho ze sedmi nejdůležitějších matematických problémů, které zbyly z dvacátého století. „Jiní byli lepší, o vyznamenání nestojím, protože matematika je můj koníček, mám jídlo a cigarety,“ řekl víceméně užaslému světu.

Úspěch po více než 300 letech

Velká Fermatova věta byla jistě nejznámějším a nejúčinnějším matematickým problémem. Byl otevřený přes tři sta let, byl formulován velmi jasně a čtivě a teoreticky na něj mohl útočit kdokoli a v době popularizace počítačů bylo poměrně snadné pokusit se překonat další rekord v hodnocení možné řešení. Tato problematika sehrála v dějinách matematiky svou inspirativní rolí velmi důležitou „kulturotvornou“ roli, přispěla ke vzniku celých matematických disciplín. To je zvláštní, protože problém sám o sobě je poměrně triviální a pouhá informace o nedostatku kořenů ve Fermatově rovnici příliš nepřispívala do obecné pokladnice matematických znalostí.

V roce 1847 měl Gabriel Lamet (1795-1870) přednášku na Francouzské akademii věd, kde oznámil řešení Fermatova problému. Okamžitě však byla zaznamenána drobná chyba v uvažování. Byl založen na neoprávněném použití jedinečné dekompoziční věty. Ze školy si pamatujeme, že každé číslo má jedinečné členění na prvočinitele, například 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Číslo 503 nemá dělitele (kromě 1 a 503 samotného), takže jej nelze dále rozšiřovat.

Vlastnost jednoznačnosti distribuce mají kladná celá čísla, ale mezi jinými číselnými množinami nemusí být. Například pro čísla znaků

máme 36 = 2²⋅2³ ,ale také

Analýzou Lameova důkazu byl Kummer schopen prokázat platnost Fermatovy domněnky pro některé exponenty p. Říkal jim pravidelná prvočísla. To byl první důležitý krok k úplnému důkazu. Kolem Fermatovy věty vyrostl mýtus. "Nebo je to možná ještě horší - možná ani nemůžeš dokázat, že je to možné nebo nemožné vyřešit?"

Od 80. let ale všichni cítili, že cíl je blízko. Pamatuji si, že Berlínská zeď ještě stála a já už poslouchal přednášky o „brzy, za chvíli“. No, někdo musel být první. Andrew Wiles zakončil svou přednášku anglickým flegmem: „Myslím, že to Fermat dokazuje,“ a chvíli trvalo, než si přeplněné publikum uvědomilo, co se stalo: na 330 let starém matematickém problému intenzivně pracovaly stovky matematiků z samotného pluku a nespočet amatérů, např. Ivo Gonsovského z Makušinského románů. A Andrew Wiles měl tu čest potřást si rukou s Haraldem V., norským králem. Možná nevěnoval pozornost skromnému příspěvku na Abelovu cenu, asi několik set tisíc eur - proč potřebuje tolik peněz?