Lem, Tokarczuk, Krakov, matematika

Ve dnech 3. – 7. září 2019 se v Krakově konal jubilejní kongres Polské matematické společnosti. Výročí, protože sté výročí založení Společnosti. V Haliči existovala od 1. let (bez přívlastku, že polský liberalismus císaře FJ1919 měl své meze), ale jako celostátní organizace fungovala až od roku 1919. Hlavní pokroky v polské matematice se datují do 1939. let XNUMX-XNUMX. XNUMX na Univerzitě Jana Kazimíra ve Lvově, ale tam se sjezd konat nemohl – a to také není nejlepší nápad.

Setkání bylo velmi slavnostní, plné doprovodných akcí (včetně vystoupení Jaceka Wojcickiho na zámku v Niepolomicích). Hlavní přednášky předneslo 28 řečníků. Byly v polštině, protože pozvaní hosté byli Poláci – ne nutně ve smyslu občanství, ale uznávali se jako Poláci. Ach ano, z polských vědeckých institucí přijelo pouze třináct přednášejících, zbylých patnáct z USA (7), Francie (4), Anglie (2), Německa (1) a Kanady (1). No, to je ve fotbalových ligách známý fenomén.

Ti nejlepší neustále vystupují v zahraničí. Je to trochu smutné, ale svoboda je svoboda. Několik polských matematiků udělalo zámořské kariéry, které jsou v Polsku nedosažitelné. Peníze zde hrají vedlejší roli, ale o takových tématech psát nechci. Snad jen dva komentáře.

V Rusku a předtím v Sovětském svazu to bylo a je na té nejuvědomělejší úrovni ... a tam se jaksi nikomu nechce emigrovat. V Německu se zase o profesuru na kterékoli univerzitě hlásí asi desítka uchazečů (kolegové z univerzity v Kostnici uvedli, že měli 120 přihlášek za rok, z nichž 50 bylo velmi dobrých a 20 výborných).

Některé z přednášek jubilejního kongresu lze shrnout do našeho měsíčníku. Nadpisy jako „Limity řídkých grafů a jejich aplikace“ nebo „Lineární struktura a geometrie podprostorů a faktorových prostorů pro vysokorozměrné normalizované prostory“ běžnému čtenáři nic neřeknou. Druhé téma představil můj kamarád z prvních kurzů, Nicole Tomchak.

Před několika lety byla nominována za úspěch prezentovaný na této přednášce. Fieldsova medaile je ekvivalent pro matematiky. Toto ocenění zatím získala pouze jedna žena. Za pozornost také stojí přednáška Anna Marciniak-Chokhra (Heidelberg University) "Role mechanistických matematických modelů v medicíně na příkladu modelování leukémie".

vstoupil do medicíny. Na Varšavské univerzitě skupina vedená Prof. Jerzy Tyurin.

Název přednášky bude pro čtenáře nesrozumitelný Veslava Niziol (z prestiżowej Vyšší pedagogické školy) “-adic Hodgeova teorie". Přesto jsem se rozhodl zde diskutovat právě o této přednášce.

Geometrie-adické světy

Začíná to jednoduchými maličkostmi. Pamatujete si, čtenáři, způsob písemné výměny? Rozhodně. Vzpomeňte si na bezstarostná léta na základní škole. Vydělte 125051 23 (toto je akce vlevo). Víte, že to může být i jinak (akce vpravo)?

Tato nová metoda je zajímavá. Jdu od konce. Potřebujeme vydělit 125051 23. Čím potřebujeme vynásobit 23, aby poslední číslice byla 1? Hledání v paměti a máme :=7. Poslední číslice výsledku je 7. Vynásobte, odečtěte, dostaneme 489. Jak vynásobíte 23, abyste skončili s 9? Samozřejmě o 3. Dostáváme se do bodu, kdy určíme všechna čísla výsledku. Připadá nám to nepraktické a obtížnější než naše obvyklá metoda – ale to je věc cviku!

Věci naberou jiný spád, když statečného muže dělitel úplně nerozdělí. Udělejme rozdělení a uvidíme, co se stane.

Vlevo je typická školní trať. Vpravo jsou „naši divní“.

Oba výsledky můžeme zkontrolovat vynásobením. Rozumíme prvnímu: jedna třetina čísla 4675 je tisíc pět set padesát osm a tři v období. To druhé nedává smysl: čemu předchází toto číslo nekonečný počet šestek a pak 8225?

Nechme na chvíli otázku smyslu. Pojďme hrát. Vydělme tedy 1 3 a pak 1 7, což je jedna třetina a jedna sedmina. Můžeme snadno získat:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Tento poslední řádek znamená: blok 285714 se na začátku opakuje donekonečna a nakonec jsou tři. Pro ty, kteří nevěří, je zde test:

Nyní sečteme zlomky:

Poté přijatá podivná čísla sečteme a dostaneme (zaškrtneme) stejné podivné číslo.

......95238095238095238095238010

Můžeme zkontrolovat, že se to rovná

Podstata se teprve ukáže, ale aritmetika je správná.

Ještě jeden příklad.

Obvyklé, i když velké, číslo 40081787109376 má zajímavou vlastnost: i jeho náměstí končí 40081787109376. číslo x40081787109376, což je ( x40081787109376)² také končí na x40081787109376.

Spropitné. Máme 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, takže další číslice je doplněk tři až deset, což je 7. Zkontrolujeme: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Otázka, proč tomu tak je, je těžká. Je to jednodušší: najít podobné koncovky pro čísla končící na 5. Pokračujeme-li v procesu hledání dalších číslic donekonečna, dojdeme k takovým „číslům“, která ²=²= (a žádné z těchto čísel není rovno nule nebo jedné).

rozumíme si dobře. Čím dále za desetinnou čárkou, tím je číslo méně důležité. V inženýrských výpočtech je důležitá první číslice za desetinnou čárkou a také druhá, ale v mnoha případech lze předpokládat, že poměr obvodu kruhu k jeho průměru je 3,14. V leteckém průmyslu je samozřejmě potřeba zahrnout více čísel, ale nemyslím si, že jich bude více než deset.

Jméno se objevilo v nadpisu článku Stanislav Lem (1921-2006), stejně jako náš nový laureát Nobelovy ceny. Dáma Olga Tokarčuk Zmínil jsem to jen proto křičící nespravedlnostFaktem je, že Stanislav Lem nedostal Nobelovu cenu za literaturu. Ale není to v našem rohu.

Lem často předvídal budoucnost. Přemýšlel, co se stane, až se stanou nezávislými na lidech. Kolik filmů na toto téma se v poslední době objevilo! Lem poměrně přesně předpověděl a popsal optickou čtečku a farmakologii budoucnosti.

Znal matematiku, i když s ní někdy zacházel jako s ozdobou a nestaral se o správnost výpočtů. Například v příběhu „Trial“ se pilot Pirks dostane na oběžnou dráhu B68 s dobou rotace 4 hodiny 29 minut a instrukce jsou 4 hodiny 26 minut. Pamatuje si, že počítali s chybou 0,3 procenta. Dá data do kalkulačky a ta odpoví, že je vše v pořádku... No, ne. Tři desetiny procenta z 266 minut jsou méně než minuta. Mění ale tato chyba něco? Možná to bylo schválně?

Proč o tom píšu? Mnoho matematiků také položilo tuto otázku: představte si komunitu. Nemají naši lidskou mysl. Pro nás jsou 1609,12134 a 1609,23245 velmi blízká čísla – dobré přiblížení k anglické míli. Počítače však mohou čísla 468146123456123456 a 9999999123456123456 považovat za blízká. Mají stejné dvanáctimístné koncovky.

Čím více obyčejných číslic na konci, tím bližší jsou čísla. A to vede k takzvané dálce -adický. Nechť p se na okamžik rovná 10; proč jen „na chvíli“, vysvětlím... teď. 10bodová vzdálenost výše napsaných čísel je 

nebo jedna miliontina – protože tato čísla mají na konci šest společných číslic. Všechna celá čísla se liší od nuly o jednu nebo méně. Nebudu psát ani šablonu, protože je to jedno. Čím více stejných čísel na konci, tím jsou čísla bližší (u člověka se naopak uvažují počáteční čísla). Je důležité, aby p bylo prvočíslo.

Pak - mají rádi nuly a jedničky, takže vidí vše v těchto vzorcích: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

V románu Glos Pana najímá Stanisław Lem vědce, aby se pokusili přečíst zprávu poslanou z posmrtného života, samozřejmě s kódem nula-jedna. Napíše nám někdo? Lem tvrdí, že „jakákoli zpráva se dá přečíst, pokud jde o zprávu, kterou nám někdo chtěl něco sdělit“. Ale je to tak? S tímto dilematem nechám čtenáře.

Žijeme ve XNUMXD prostoru R³. Dopis R připomíná, že osy se skládají z reálných čísel, tj. celých čísel, záporných a kladných, nulových, racionálních (tj. zlomků) a iracionálních, se kterými se čtenáři setkali ve škole (), a čísel známých jako transcendentální čísla, nepřístupná v algebře (jedná se o číslo π , která již více než dva tisíce let spojuje průměr kruhu s jeho obvodem).

Co kdyby osy našeho prostoru byly -adic čísla?

Jerzy Mioduszowski, matematik ze Slezské univerzity, tvrdí, že by to tak mohlo být a dokonce by to tak mohlo být. Můžeme (říká Jerzy Mioduszowski) obsadit stejné místo ve vesmíru s takovými bytostmi, aniž bychom se rušili a aniž bychom se viděli.

Máme tedy k prozkoumání veškerou geometrii „jejich“ světa. Je nepravděpodobné, že by „oni“ o nás uvažovali stejným způsobem a také studovali naši geometrii, protože ten náš je hraničním případem všech „jejich“ světů. „Oni“, tedy všechny pekelné světy, kde jsou prvočísla. Konkrétně = 2 a tento fascinující svět nula-jedna...

Zde se může čtenář článku rozzlobit a dokonce rozzlobit. "To je ten druh nesmyslů, co dělají matematici?" Fantazírují o pití vodky po večeři za moje (=daňové) peníze. A rozháněj je do čtyř větrů, ať jdou do státních statků ... ach, už žádné státní statky nejsou!

Relaxovat. vždy měli sklony k takovým vtipům. Dovolte mi zmínit pouze sendvičovou větu: pokud mám sendvič se sýrem a šunkou, mohu ho rozříznout jedním řezem a rozpůlit housku, šunku a sýr. To je v praxi k ničemu. Jde o to, že jde jen o hravou aplikaci zajímavé obecné věty z funkcionální analýzy.

Jak vážné je zabývat se -adic čísly a související geometrií? Připomenu čtenáři, že racionální čísla (zjednodušeně: zlomky) leží hustě na přímce, ale nevyplňují ji těsně.

Iracionální čísla žijí v „dírách“. Je jich mnoho, nekonečně mnoho, ale také se dá říci, že jejich nekonečno je větší než u těch nejjednodušších, ve kterých počítáme: jedna, dva, tři, čtyři ... a tak dále až do ∞. To je naše lidská výplň „dírek“. Tuto mentální strukturu jsme zdědili od Pythagorejci. 

Co je ale zajímavé a pro matematika důležité je, že tyto díry nelze „zaplnit“ iracionálními a p-adickými čísly (pro všechna prvočísla p). Pro ty čtenáře, kteří tomu rozumí (a to se učilo na každé střední škole před třiceti lety), jde o to, že každá sekvence, která vyhovuje Cauchyho stav, konverguje.

Prostor, ve kterém to platí, se nazývá úplný ("nic nechybí"). Budu si pamatovat číslo 547721051611007740081787109376.

Posloupnost 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 a tak dále konverguje k určité hranici, která je přibližně 0,5477210516110077400 81787109376.

Z pohledu 10adické vzdálenosti však posloupnost čísel 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 a tak dále konverguje také k "podivnému" číslu ... 547721051 611007740081787109376.

Ale ani to nemusí být dostatečný důvod, aby vědci dávali veřejné peníze. Obecně se my (matematici) bráníme tím, že nelze předvídat, k čemu bude náš výzkum užitečný. Je téměř jisté, že každý bude k něčemu a že pouze akce na široké frontě má šanci na úspěch.

Jeden z největších vynálezů, rentgenový přístroj, vznikl poté, co byla náhodně objevena radioaktivita becquerel. Nebýt tohoto případu, mnohaletý výzkum by byl pravděpodobně zbytečný. "Hledáme způsob, jak udělat rentgen lidského těla."

Nakonec to nejdůležitější. Všichni se shodují, že svou roli hraje schopnost řešit rovnice. A tady jsou naše podivná čísla dobře chráněna. Odpovídající věta (Nesnáším Minkowského) říká, že některé rovnice lze řešit v racionálních číslech právě tehdy, pokud mají skutečné kořeny a kořeny v každém -adickém tělese.

Víceméně tento přístup byl prezentován Andrew Wiles, která vyřešila nejznámější matematickou rovnici posledních tří set let - doporučuji čtenářům zadat si ji do vyhledávače „Fermatova poslední věta“.