Rovnice, kódy, šifry, matematika a poezie

Michal Shurek o sobě říká: „Narodil jsem se v roce 1946. Vystudoval jsem Varšavskou univerzitu v roce 1968 a od té doby pracuji na Fakultě matematiky, informatiky a mechaniky. Vědecké zaměření: algebraická geometrie. Nedávno jsem se zabýval vektorovými svazky. Co je to vektorový paprsek? Takže vektory je třeba pevně svázat nití a už máme hromadu. Můj přítel fyzik Anthony Sim mě donutil vstoupit do Young Technician (přiznává, že by měl dostávat honoráře z mých honorářů). Napsal jsem pár článků a pak jsem zůstal a od roku 1978 si můžete každý měsíc přečíst, co si o matematice myslím. Miluji hory a i přes nadváhu se snažím chodit. Myslím, že nejdůležitější jsou učitelé. Politiky, ať už mají jakékoli možnosti, bych držel v přísně střežené oblasti, aby nemohli uniknout. Krmte jednou denně. Líbí se mi bígl z Tulek.

Rovnice je pro matematika jako šifra. Řešení rovnic, kvintesence matematiky, je čtením šifrovaného textu. Toho si všimli teologové již od XNUMX století. Jan Pavel II., znalý matematiky, to ve svých kázáních několikrát napsal a zmínil - bohužel fakta jsou vymazána z mé paměti.

Ve školní vědě je zastoupena Pythagoras jako autor věty o nějaké závislosti v pravoúhlém trojúhelníku. Tak se to stalo součástí naší eurocentrické filozofie. A přesto má Pythagoras mnohem více ctností. Byl to on, kdo uložil svým studentům povinnost "poznat svět", z "co je za tímto kopcem?" před studiem hvězd. Proto Evropané „objevili“ starověké civilizace a ne naopak.

Někteří čtenáři si pamatujíViète vzorya"; mnoho starších čtenářů si pamatuje samotný termín ze školy a přibližně to, že se otázka objevila v kvadratických rovnicích. Tyto zákonitosti jsou „ideologicky“ šifrování informace.

Není divu, že jeden Francois Viet (1540-1603) se zabýval kryptografií na dvoře Jindřicha IV. (prvního francouzského krále z dynastie Bourbonů, 1553-1610) a podařilo se mu prolomit šifru používanou Brity ve válce s Francií. Hrál tedy stejnou roli jako polští matematici (v čele s Marianem Rejewskim), kteří před druhou světovou válkou objevili tajemství německého šifrovacího stroje Enigma.

módní téma

Přesně tak. Téma „kódy a šifry“ je ve výuce dlouho módní. Už jsem o tom psal vícekrát a za dva měsíce bude další série. Tentokrát píšu pod dojmem filmu o válce 1920, kde se o vítězství z velké části zasloužilo prolomení kodexu bolševických vojsk týmem vedeným tehdy mladými Václav Sierpinski (1882-1969). Ne, ještě to není Enigma, je to jen úvod. Pamatuji si scénu z filmu, kde Józef Piłsudski (hraje Daniil Olbrychski) říká vedoucímu šifrovacího oddělení:

Dekódované zprávy nesly důležitou zprávu: Tuchačevského jednotky nedostanou podporu. Můžete zaútočit!

Znal jsem Václava Sierpinského (pokud to tak mohu říci: byl jsem mladý student, on byl slavný profesor), chodil jsem na jeho přednášky a semináře. Působil dojmem seschlého učence, roztržitého, zaneprázdněného svou disciplínou a nevidící onen svět. Přednášel konkrétně, čelem k tabuli, nedíval se do publika... ale cítil se jako vynikající specialista. Tak či onak měl určité matematické schopnosti – například pro řešení problémů. Jsou jiní – vědci, kteří jsou relativně špatní v řešení hádanek, ale kteří hluboce rozumí celé teorii a jsou schopni iniciovat celé oblasti kreativity. Potřebujeme oba – i když ten první se bude pohybovat rychleji.

Václav Sierpinski o svých úspěších v roce 1920 nikdy nemluvil. Do roku 1939 se to rozhodně muselo tajit a po roce 1945 se ti, kteří bojovali se sovětským Ruskem, netěšili sympatiím tehdejších úřadů. Mé přesvědčení, že vědci jsou potřeba, stejně jako armáda, je dokázáno: „pro každý případ“. Zde prezident Roosevelt volá Einsteinovi:

Vynikající ruský matematik Igor Arnold otevřeně a smutně řekl, že válka měla velký vliv na rozvoj matematiky a fyziky (vojenský původ měly i radary a GPS). Nechci zacházet do morálního aspektu použití atomové bomby: zde je prodloužení války o rok a smrt několika milionů vlastních vojáků - je tu utrpení nevinných civilistů.

***

Utíkám do známých oblastí - k. Mnoho z nás si hrálo s kódy, možná skauting, možná jen tak. Jednoduché šifry, založené na principu nahrazování písmen jinými písmeny nebo jinými čísly, se běžně lámou, pokud zachytíme jen pár indicií (například uhodneme jméno krále). Dnes pomáhá i statistická analýza. Horší, když je všechno proměnlivé. Nejhorší ale je, když tam není pravidelnost. Zvažte kód popsaný v Dobrodružství dobrého vojáka Švejka. Vezměte si knihu, například Potopu. Zde jsou návrhy na první a druhé straně.

Chceme zakódovat slovo „CAT“. Otevíráme na straně 1 a další sekundě. Zjistíme, že na straně 1 se písmeno K objevuje nejprve na 59. místě. Padesáté deváté slovo najdeme na opačné, druhé straně. Je to slovo "a". Nyní písmeno O. Nalevo je 16. slovo a šestnácté napravo je "Mr." Písmeno T je na 95. místě, pokud jsem dobře počítal, a devadesáté páté slovo zprava je „o“. Takže KOCOUR = 1 LORD O.

„Neuhodnutelná“ šifra, i když bolestně pomalá pro šifrování i... pro hádání. Předpokládejme, že chceme předat písmeno M. Můžeme zkontrolovat, zda jej zakódujeme slovem "Wołodyjowski". A po nás už připravují vězeňskou celu. Můžeme počítat pouze s náhradou! Kontrarozvědka si navíc všímá zpráv tajných zaměstnanců, že zákazníci už nějakou dobu ochotně kupují první díl Potopy.

Můj článek je příspěvkem k této tezi: i ty nejbizarnější myšlenky matematiků mohou najít uplatnění v široce chápané praxi. Je například možné si představit méně užitečný matematický objev, než je kritérium dělitelnosti... 47?

Kdy to v životě potřebujeme? A pokud ano, bude jednodušší to zkusit oddělit. Pokud to rozděluje, tak je to dobře, pokud ne, tak ... sekundárně je to dobré (víme, že nedělí).

Jak sdílet a proč

Po tomto úvodu přejděme k. Znáte čtenáři nějaké známky dělitelnosti? Rozhodně. Sudá čísla končí 2, 4, 6, 8 nebo nulou. Číslo je dělitelné třemi, je-li součet jeho číslic dělitelný třemi. Podobně se znaménkem dělitelnosti devíti – součet číslic musí být dělitelný devíti.

kdo to potřebuje? Lhal bych, kdybych přesvědčoval Čtenáře, že je dobrý na něco jiného než... školní úkoly. No a ještě jedna vlastnost dělitelnosti 4 (a co to je, Čtenáři? Možná ji využijete, až budete chtít vědět, na jaký rok připadá další olympiáda ...). Ale vlastnost dělitelnosti 47? Tohle už bolí hlava. Dozvíme se někdy, jestli je něco dělitelné 47? Pokud ano, vezměte si kalkulačku a uvidíte.

Tohle je. Máte pravdu, čtenáři. A přesto čtěte dál. Nemáš zač.

Příznak dělitelnosti 47: Číslo 100+ je dělitelné 47 právě tehdy, když je 47 dělitelné +8.

Matematik se spokojeně usměje: "Jé, hezká." Ale matematika je matematika. Na důkazech záleží a my věnujeme pozornost jejich kráse. Jak dokázat naši vlastnost? Je to velmi jednoduché. Odečtěte od 100 + číslo 94 - 47 = 47 (2 -). Dostaneme 100+-94+47=6+48=6(+8).

Odečetli jsme číslo, které je dělitelné 47, takže pokud je 6 (+ 8) dělitelné 47, pak je dělitelné i 100 +. Ale číslo 6 je coprime k 47, což znamená, že 6 (+ 8) je dělitelné 47 právě tehdy, když je + 8. Konec důkazu.

Uvidíme Nějaké příklady.

8805685 je dělitelné 47? Jestli nás to opravdu zajímá, to zjistíme dřív jen tím, že nás rozdělíme, jak nás to učili na základní škole. Tak či onak, nyní je kalkulačka v každém mobilním telefonu. Rozdělený? Ano, soukromé 187355.

No, uvidíme, co nám říká znaménko dělitelnosti. Odpojíme poslední dvě číslice, vynásobíme je 8, výsledek přidáme k „zkrácenému číslu“ a totéž uděláme s výsledným číslem.

8805685 → 88056 + 8 = 85 → 88736 + 887 = 8 → 36 + 1175 = 11 → 8 + 75 = 611.

Vidíme, že 94 je dělitelné 47 (podíl je 2), což znamená, že původní číslo je také dělitelné. Pokuta. Ale co když se budeme bavit dál?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Teď musíme přestat. Čtyřicet sedm je dělitelné 47, že?

Opravdu musíme přestat? Co když půjdeme dále? Ach můj bože, stát se může cokoliv... vynechám detaily. Možná jen začátek:

47 → 0 + 8·47 = 376 → 3 + 8·76 = 611 → 6 + 8·11 = 94 → 0 + 8·94 = 752.

Ale bohužel je to návykové jako žvýkání semínek...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ach, čtyřicet sedm. Stalo se to předtím. Co bude dál? . Stejný. Čísla jdou ve smyčce takto:

Je to opravdu zajímavé. Tolik smyček.

Dvě následující příklady.

Chceme vědět, zda je 10017627 dělitelné 47. Proč tyto znalosti potřebujeme? Pamatujeme si zásadu: běda poznání, které nepomáhá poznávajícímu. Znalosti jsou vždy k něčemu. K něčemu to bude, ale teď to nebudu vysvětlovat. Několik dalších účtů:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

"Změnil svého strýce ze sekery na hůl." Co z toho všeho máme?

Nuže, zopakujme si průběh řízení. To znamená, že v tom budeme pokračovat (to znamená slovo „iterovat“).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Zastavme hru, rozdělme jako ve škole (nebo na kalkulačce): 235 = 5 47. Bingo. Původní číslo 10017627 je dělitelné 47.

Výborně!

Co když půjdeme dále? Věřte mi, můžete se na to podívat.

A ještě jedna zajímavost. Chceme zkontrolovat, zda je 799 dělitelné 47. Použijeme funkci dělitelnosti. Odpojíme poslední dvě číslice, vynásobíme výsledné číslo 8 a přidáme k tomu, co zbylo:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Co máme? Je 799 dělitelné 47 právě tehdy, když je 799 dělitelné 47? Ano, je to tak, ale žádná matematika k tomu není potřeba!!! Olej je mastný (alespoň tento olej je mastný).

O listu, pirátech a konci vtipů!

Další dva příběhy. Kde je nejlepší schovat list? Odpověď je zřejmá: v lese! Ale jak to potom můžete najít?

Druhý známe z knih o pirátech, které jsme četli už dávno. Piráti vytvořili mapu místa, kde poklad zakopali. Jiní ji buď ukradli, nebo boj vyhráli. Mapa ale neuváděla, pro který ostrov byla určena. A hledejte sami sebe! Piráti se s tím samozřejmě vyrovnali (mučení) - šifry, o kterých mluvím, lze také extrahovat pomocí takových metod.

Konec vtipů. Čtenář! Vytváříme šifru. Jsem tajný špión a jako kontaktní schránku používám "Junior Technician". Přeposílejte mi šifrované zprávy následovně.

Nejprve převeďte text na řetězec čísel pomocí kódu: AB CDEFGH IJ KLMN ON RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Jak vidíte, nepoužíváme polskou diakritiku (tj. bez a, e, c, n, o, s) a nepolské q, v - ale pro každý případ tam je nepolské x. Zahrneme dalších 25 jako mezeru (mezera mezi slovy). Oh, to nejdůležitější. Použijte kód č. 47.

Víš co to znamená. Jdeš ke kamarádovi matematikovi.

Kamarádovy oči se rozšířily překvapením.

Odpovíš hrdě:

Touto vlastností vás obdaří matematik... a vy už víte, že k šifrování slouží nenápadně vypadající funkce

protože takový vzor je popsaná akce

100+→+8.

Takže, když chcete vědět, co znamená číslo, například 77777777 v zašifrované zprávě, použijte funkci

100+→+8

dokud nezískáte číslo mezi 1 a 25. Nyní se podívejte na explicitní alfanumerický kód. Podívejme se: 77777777 →... Nechám to na vás jako úkol. Ale podívejme se, co skrývá písmeno 48? Pojďme si přečíst:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Pak se dostaneme postupně:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432 ...

Konec není v dohledu. Teprve po šedesátém (!) čase se objeví číslo menší než 25. To je 3, což znamená, že 48 je písmeno C.

A co nám tato zpráva dává? (Chci vám připomenout, že používáme kód číslo 47):

80 – 152 – 136 – 546 – 695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408

No, přemýšlejte o tom, co je tak složitého, nějaké účty. Začali jsme. Brzy 80. Známé pravidlo:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Pokračuje to takto:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Jíst! První písmeno zprávy je K. Fuj, snadné, ale jak dlouho to bude trvat?

Podívejme se také, jak velké potíže musíme mít s číslem 1234567. Teprve šestnáctým časem dostaneme číslo menší než 25, konkrétně 12. Takže 1234567 je L.

Dobře, dalo by se říci, ale tato aritmetická operace je tak jednoduchá, že její naprogramování na počítači okamžitě rozbije kód. Ano, je to pravda. Jedná se o jednoduché počítačové výpočty. nápad s veřejná šifra a jde také o ztížení výpočtů pro počítač. Ať to funguje alespoň sto let. Dešifruje zprávu? Na tom nezáleží. Dlouho na tom nebude záležet. O tom (víceméně) veřejné šifry jsou. Mohou se rozbít, pokud pracujete velmi dlouho... dokud zprávy přestanou být aktuální.

 odjakživa rodí „protizbraně“. Všechno to začalo mečem a štítem. Tajné služby platí obrovské sumy peněz nadaným matematikům, aby vynalezli šifrovací metody, které počítače (včetně těch námi vytvořených) nebudou ve XNUMX. století schopny prolomit.

dvacáté druhé století? Není tak těžké vědět, že na světě je již mnoho lidí, kteří budou žít v tomto krásném století!

Ach jo? Co když požádám (já, tajný důstojník kontaktovaný „mladým technikem“) o šifrování kódem číslo 23? Nebo 17? Jednoduchý:

Kéž bychom pro takové účely nikdy nemuseli používat matematiku.

***

Název článku je o poezii. co s tím má společného?

Jako co? Poezie také šifruje svět.

Jak?

Svými metodami – podobnými algebraickým.