TAK KOMU, tedy: ZKUSTE, KDE MŮŽETE - část 2

V minulém díle jsme se zabývali Sudoku, aritmetickou hrou, ve které jsou čísla v podstatě uspořádána do různých diagramů podle určitých pravidel. Nejběžnější variantou je šachovnice 9×9, navíc rozdělená na devět buněk 3×3. Čísla od 1 do 9 na něm musí být nastavena tak, aby se neopakovala ani ve svislé řadě (matematici říkají: ve sloupci), ani ve vodorovné řadě (matematici říkají: v řadě) - a navíc tak, aby neopakují se. opakujte v libovolném menším čtverci.

Na Obr. 1 tento hlavolam vidíme v jednodušší verzi, což je čtverec 6 × 6 rozdělený na obdélníky 2 × 3. Vložíme do něj čísla 1, 2, 3, 4, 5, 6 - aby se neopakovala svisle, ani vodorovně, ani v každém z vybraných šestiúhelníků.

Zkusme to zobrazit v horním čtverci. Dokážete jej doplnit čísly od 1 do 6 podle pravidel stanovených pro tuto hru? Je to možné – ale nejednoznačné. Podívejme se - nakreslete čtverec vlevo nebo čtverec vpravo.

Můžeme říci, že to není základ pro hádanku. Obvykle předpokládáme, že hádanka má jedno řešení. Úkol najít různé základny pro "velké" Sudoku, 9x9, je těžký úkol a není šance ho úplně vyřešit.

Dalším důležitým spojením je protichůdný systém. Spodní prostřední čtverec (ten s číslem 2 v pravém dolním rohu) nelze dokončit. Proč?

Zábava a ústupy

Hrajeme dál. Využijme dětskou intuici. Věří, že zábava je úvodem do učení. Pojďme do vesmíru. zahrnuta Obr. 2 všichni vidí mřížku čtyřstěnz míčků např. pingpongové míčky? Připomeňte si školní hodiny geometrie. Barvy na levé straně obrázku vysvětlují, k čemu se při sestavování bloku lepí. Konkrétně se budou lepit tři rohové (červené) koule do jedné. Proto musí mít stejný počet. Možná 9. Proč? A proč ne?

Oh, neformuloval jsem to úkoly. Zní to asi takto: je možné vepsat čísla od 0 do 9 do viditelné mřížky tak, aby každá plocha obsahovala všechna čísla? Úkol není obtížný, ale kolik je třeba si představit! Nebudu kazit čtenářům radost a nenabídnu řešení.

To je velmi krásný a nedoceněný tvar. pravidelný osmistěn, postavený ze dvou pyramid (=pyramid) se čtvercovou základnou. Jak název napovídá, osmistěn má osm tváří.

V osmistěnu je šest vrcholů. Je to v rozporu krychlekterý má šest tváří a osm vrcholů. Okraje obou hrudek jsou stejné - po dvanácti. Tento dvojité pevné látky - to znamená, že spojením středů stěn krychle dostaneme osmistěn a středy stěn osmistěnu nám dají krychli. Oba tyto nárazy fungují („protože musí“) Eulerův vzorec: Součet počtu vrcholů a počtu ploch je o 2 větší než počet hran.

3. Pravidelný osmistěn v rovnoběžném promítání a mřížka osmistěnu složená z koulí tak, že každá hrana má čtyři koule.

1 úloha. Nejprve si zapište poslední větu předchozího odstavce pomocí matematického vzorce. Na Obr. 3 vidíte oktaedrickou mřížku, rovněž složenou z koulí. Každá hrana má čtyři kuličky. Každá tvář je trojúhelník deseti koulí. Úloha je nastavena nezávisle: je možné do kružnic mřížky umístit čísla od 0 do 9 tak, aby po nalepení pevného tělesa každá stěna obsahovala všechna čísla (z toho vyplývá, že bez opakování). Stejně jako dříve je největším problémem v tomto úkolu to, jak se síť promění v pevné těleso. Neumím to písemně vysvětlit, proto ani zde neuvádím řešení.

4. Dva dvacetistěny z pingpongových míčků. Všimněte si odlišného barevného schématu.

již Plato (a žil v XNUMX.–XNUMX. století před naším letopočtem) znal všechny pravidelné mnohostěny: čtyřstěn, krychle, osmistěn, dodecahedron i icosahedron. Je úžasné, jak se tam dostal – žádná tužka, žádný papír, žádné pero, žádné knihy, žádný smartphone, žádný internet! Nebudu zde mluvit o dvanáctistovce. Zajímavé je ale dvacetistěnné sudoku. Vidíme tuto hrudku ilustrace 4a jeho síť obr. 5.

5. Pravidelná síť dvacetistěnu.

Stejně jako dříve se nejedná o mřížku ve smyslu, v jakém si ji pamatujeme (?!) ze školy, ale o způsob slepování trojúhelníků z kuliček (kuliček).

2 úloha. Kolik kuliček je potřeba k sestavení takového dvacetistěnu? Zůstává správná následující úvaha: protože každá plocha je trojúhelník, má-li být 20 ploch, je potřeba až 60 koulí?

6. Mřížka dvacetistěnu z koulí. Každý kruh je například pingpongový míček, ale konstrukce kruhů na kruzích označených stejnou barvou splývají v jeden. Máme tedy dvanáct koulí (= dvanáct vrcholů: červená, modrá, fialová, modrá a osm žlutých).

Je snadné vidět, že tři čísla v dvacetistěnu nestačí. Přesněji: není možné vyčíslit vrcholy čísly 1, 2, 3 tak, aby každá (trojúhelníková) plocha měla tato tři čísla a nedocházelo k opakování. Je to možné se čtyřmi čísly? Ano, je to možné! Pojďme se podívat Rýže. 6 a 7.

7. Zde je návod, jak očíslovat koule tvořící dvacetistěn tak, aby každá plocha obsahovala jiná čísla než 1, 2, 3, 4. Které z těles na obr. 4 je takto zbarvená?

3 úloha. Tři ze čtyř čísel lze vybrat čtyřmi způsoby: 123, 124, 134, 234. Najděte pět takových trojúhelníků v dvacetistěnu na obr. 7 (stejně jako od ilustrace jeden).

4 úloha (vyžaduje velmi dobrou prostorovou představivost). Dvanáctstěn má dvanáct vrcholů, což znamená, že jej lze slepit z dvanácti kuliček (Obr. 7). Všimněte si, že existují tři vrcholy (=koule) označené 1, tři 2 a tak dále. Kuličky stejné barvy tak tvoří trojúhelník. Co je to za trojúhelník? Možná rovnostranné? Podívej se znovu ilustrace jeden.

Další úkol pro dědečka / babičku a vnuka / vnučku. Rodiče si to konečně mohou vyzkoušet taky, ale potřebují trpělivost a čas.

5 úloha. Kupte si dvanáct (nejlépe 24) pingpongových míčků, nějaké čtyři barvy barev, štětec a správné lepidlo - rychlé jako Superglue nebo Droplet nedoporučuji, protože příliš rychle schnou a jsou pro děti nebezpečné. Lepidlo na dvacetistěnu. Oblečte svou vnučku do trička, které se hned poté vypere (nebo vyhodí). Stůl zakryjte fólií (nejlépe novinami). Opatrně vybarvěte dvacetistěn čtyřmi barvami 1, 2, 3, 4, jak je znázorněno na obr. Obr. 7. Pořadí můžete změnit - balónky nejprve vybarvěte a poté slepte. Drobná kolečka je přitom třeba nechat nenatřená, aby barva na laku neulpěla.

Nyní nejtěžší úkol (přesněji celá jejich sekvence).

6 úloha (Přesněji obecné téma). Vykreslete dvacetistěn jako čtyřstěn a osmistěn Rýže. 2 a 3 To znamená, že na každé hraně by měly být čtyři kuličky. V této variantě je úkol jak časově, tak i finančně náročný. Začněme tím, že zjistíme, kolik kuliček potřebujete. Každá tvář má deset koulí, takže dvacetistěn potřebuje dvě stě? Ne! Musíme si uvědomit, že mnoho míčů je sdíleno. Kolik hran má dvacetistěn? Dá se to pečlivě vypočítat, ale k čemu je Eulerův vzorec?

w–k+s=2

kde w, k, s jsou počty vrcholů, hran a ploch. Pamatujeme si, že w = 12, s = 20, což znamená k = 30. Máme 30 hran dvacetistěnu. Můžete to udělat jinak, protože pokud existuje 20 trojúhelníků, pak mají pouze 60 hran, ale dva z nich jsou společné.

Pojďme si spočítat, kolik kuliček potřebujete. V každém trojúhelníku je pouze jedna vnitřní koule - ani v horní části našeho těla, ani na okraji. Celkem tedy máme 20 takových míčků. Je zde 12 vrcholů. Každá hrana má dvě nevertexové koule (jsou uvnitř hrany, ale ne uvnitř plochy). Protože je 30 hran, je 60 kuliček, ale dvě z nich jsou sdílené, což znamená, že potřebujete pouze 30 kuliček, takže potřebujete celkem 20 + 12 + 30 = 62 kuliček. Kuličky se dají koupit minimálně za 50 haléřů (většinou dražší). Když k tomu připočtete náklady na lepidlo, vyjde to...hodně. Dobré spojení vyžaduje několik hodin pečlivé práce. Dohromady se hodí na odpočinkovou zábavu - doporučuji místo např. sledování televize.

Ústup 1. Ve filmovém cyklu Andrzeje Wajdy Roky, dny hrají dva muži šachy, „protože musí nějak trávit čas do večeře“. Odehrává se v haličském Krakově. Opravdu: noviny už byly přečteny (tehdy měly 4 stránky), televize a telefon ještě nebyly vynalezeny, fotbalové zápasy se nekonají. Nuda v kalužích. V takové situaci si lidé přišli na zábavu sami. Dnes je máme po stisknutí dálkového ovladače ...

Ústup 2. Na setkání Asociace učitelů matematiky v roce 2019 předvedl španělský profesor počítačový program, který dokáže vymalovat pevné stěny v jakékoli barvě. Bylo to trochu strašidelné, protože kreslili jen ruce, málem uřízli tělo. Říkal jsem si: kolik zábavy můžete mít z takového "stínování"? Všechno trvá dvě minuty a do čtvrté si nic nepamatujeme. Mezitím staromódní „vyšívání“ uklidňuje a vychovává. Kdo nevěří, ať zkusí.

Vraťme se do XNUMX století a do naší reality. Pokud nechceme relax v podobě zdlouhavého lepení kuliček, tak si nakreslíme alespoň mřížku dvacetistěnu, jehož okraje mají čtyři koule. Jak to udělat? Nasekejte to správně obr. 6. Pozorný čtenář již tuší problém:

7 úloha. Je možné vyčíslit koule čísly od 0 do 9 tak, aby se všechna tato čísla objevila na každé ploše takového dvacetistěnu?

Za co jsme placeni?

Dnes si často klademe otázku po smyslu naší činnosti a „šedý daňový poplatník“ se bude ptát, proč by měl platit matematiky za řešení takových hlavolamů?

Odpověď je docela jednoduchá. Takové „puzzle“, samy o sobě zajímavé, jsou „fragmentem něčeho vážnějšího“. Vojenské přehlídky jsou přece jen vnější, spektakulární součástí těžké služby. Uvedu jen jeden příklad, ale začnu zvláštním, ale mezinárodně uznávaným matematickým předmětem. V roce 1852 se jeden anglický student zeptal svého profesora, zda je možné vybarvit mapu čtyřmi barvami, aby sousední země byly vždy zobrazeny jinými barvami? Dovolte mi dodat, že za „sousedy“ nepovažujeme ty, kteří se setkávají pouze v jednom bodě, jako jsou státy Wyoming a Utah v USA. Profesor nevěděl... a problém čekal na řešení přes sto let.

8. Ikosahedr z bloků RECO. Zábleskové reflektory ukazují, co má dvacetistěn společného s trojúhelníkem a pětiúhelníkem. V každém vrcholu se sbíhá pět trojúhelníků.

Stalo se to nečekaným způsobem. V roce 1976 sepsala skupina amerických matematiků program na vyřešení tohoto problému (a rozhodli se: ano, čtyři barvy budou vždy stačit). To byl první důkaz matematického faktu získaného pomocí „matematického stroje“ – jak se před půl stoletím říkalo počítači (a ještě dříve: „elektronický mozek“).

Zde je speciálně zobrazená „mapa Evropy“ (Obr. 9). Ty země, které mají společnou hranici, jsou propojené. Vybarvování mapy je stejné jako vybarvování kruhů tohoto grafu (nazývaného graf), takže žádné spojené kruhy nemají stejnou barvu. Pohled do Lichtenštejnska, Belgie, Francie a Německa ukazuje, že tři barvy nestačí. Pokud si přejete, čtenáři, vybarvěte to čtyřmi barvami.

9. Kdo s kým sousedí v Evropě?

No ano, ale stojí to za peníze daňových poplatníků? Podívejme se tedy na stejný graf trochu jinak. Zapomeňte, že existují státy a hranice. Nechť kruhy symbolizují informační pakety, které mají být odeslány z jednoho bodu do druhého (například z P do EST), a segmenty představují možná spojení, z nichž každé má svou vlastní šířku pásma. Odeslat co nejdříve?

Nejprve se podívejme na velmi zjednodušenou, ale také velmi zajímavou situaci z matematického hlediska. Musíme poslat něco z bodu S (= jako začátek) do bodu M (= konec) pomocí spojovací sítě se stejnou šířkou pásma, řekněme 1. Vidíme to v Obr. 10.

10. Síť spojů ze Statsyika Zdrój do Megapolis.

Představme si, že z S do M je potřeba poslat asi 89 bitů informací. Autor těchto slov má rád problémy kolem vlaků, a tak si představuje, že je vedoucím ve Stacie Zdrój, odkud musí poslat 144 vagónů. na metropolitní nádraží. Proč zrovna 144? Protože, jak uvidíme, bude to sloužit k výpočtu propustnosti celé sítě. Kapacita je 1 v každé šarži, tzn. za jednotku času může projet jedno auto (jeden informační bit, případně i Gigabyte).

Postarejme se o to, aby se všechna auta setkala ve stejnou dobu v M. Každý se tam dostane za 89 jednotek času. Pokud mám poslat velmi důležitý informační paket od S do M, rozdělím ho do skupin po 144 jednotkách a protlačím, jak je uvedeno výše. Matematika zaručuje, že to bude nejrychlejší. Jak jsem věděl, že potřebujete 89? Vlastně jsem to tušil, ale kdybych to neuhádl, musel bych na to přijít Kirchhoffova rovnice (pamatuje si někdo? - to jsou rovnice popisující tok proudu). Šířka pásma sítě je 184/89, což se přibližně rovná 1,62.

O radosti

Mimochodem mám rád číslo 144. Rád jsem jezdil autobusem s tímto číslem na Zámecké náměstí ve Varšavě - když u něj nestál obnovený Královský hrad. Snad mladí čtenáři vědí, co je to tuctovka. To je 12 výtisků, ale jen starší čtenáři si pamatují, že desítka, tzn. 122=144, jedná se o tzv. lot. A každý, kdo zná matematiku trochu víc než školní osnovy, to hned pochopí Obr. 10 máme Fibonacciho čísla a že šířka pásma sítě se blíží „zlatému číslu“

Ve Fibonacciho posloupnosti je 144 jediné číslo, které je dokonalým čtvercem. Sto čtyřicet čtyři je také „radostné číslo“. Takhle indický amatérský matematik Dattatreya Ramachandra Kaprekar v roce 1955 pojmenoval čísla, která jsou dělitelná součtem jejich základních číslic:

Kdyby to věděl Adam Miscavige, jistě by v Dzyady napsal ne: „Od cizí matky; jeho krev jsou jeho staří hrdinové / A jmenuje se čtyřiačtyřicet, jen elegantněji: A jmenuje se sto čtyřicet čtyři.

Berte zábavu vážně

Doufám, že jsem čtenáře přesvědčil, že sudoku jsou zábavnou stránkou otázek, které si určitě zaslouží, aby je člověk bral vážně. Nemohu toto téma dále rozvíjet. Oh, výpočet plné šířky pásma sítě z uvedeného diagramu Obr. 9 sepsání soustavy rovnic by zabralo dvě i více hodin – možná i desítky sekund (!) práce na počítači.