Článek o ničem

V dětství mě zaujala asi mnoha čtenářům známá historka o „polévce na hřebíku“. Moje babička (XNUMX. století narození) mi to řekla ve verzi „Přišel kozák a požádal o vodu, protože má hřebík a uvaří na něm polévku“. Zvědavá hostitelka mu dala hrnec vody... a víme, co se dělo dál: „polévka by měla být slaná, daitye, babička, sůl“, pak maso umyl „pro zlepšení chuti“ a tak dále. Nakonec „uvařený“ hřebík odhodil.

Tento článek tedy měl být o prázdnotě vesmíru – a jedná se o přistání evropského aparátu na kometě 67P / Čurjumov-Gerasimenko 12. listopadu 2014. Při psaní jsem ale podlehl dlouholetému zvyku, Pořád jsem matematik. Jak je to s Jakoс Nula matematika?

Jak nic neexistuje?

Nelze říci, že Nic neexistuje. Existuje přinejmenším jako filozofický, matematický, náboženský a dokonale hovorový koncept. Nula je obyčejné číslo, nula stupňů na teploměru je také teplota a nulový zůstatek v bance je nepříjemný, ale častý jev. Všimněte si, že v chronologii není žádný nultý rok, a to proto, že nula byla do matematiky zavedena až v pozdním středověku, později než chronologie navržená mnichem Dionysiem (XNUMX. století).

Kupodivu bychom se opravdu obešli bez této nuly, a tedy bez záporných čísel. V jedné z učebnic logiky jsem našel cvičení: nakresli nebo řekni, jak si představuješ absenci ryb. Úžasné, že? Každý umí nakreslit rybu, ale ne jednu?

Nyní krátce základní kurz matematiky. Udělení privilegia existence prázdné množině označené přeškrtnutým kroužkem ∅ je nezbytný postup obdobný přidávání nuly do množiny čísel. Prázdná množina je jediná množina, která neobsahuje žádné prvky. Takové sbírky:

Ale neexistují dvě různé prázdné množiny. Prázdná sada je součástí každé druhé sady:

Pravidla matematické logiky totiž říkají, že množina A je obsažena v množině B právě tehdy, když věta:

to obnáší

V případě prázdné množiny ∅ je tvrzení vždy nepravdivé, a tedy podle zákonů logiky je implikace obecně pravdivá. Všechno pramení ze lži („tady si nechám vyrůst kaktus, když přejdeš do další třídy...“). Takže, protože prázdná množina je obsažena v každé z ostatních, pak pokud by byly dvě různé, každá z nich by byla obsažena v té druhé. Pokud jsou však dvě množiny obsaženy v sobě, jsou si rovny. Proto: je pouze jedna prázdná sada!

Postulát existence prázdné množiny neodporuje žádným matematickým zákonům, tak proč jej nepřivést k životu? Filosofický princip tzvOccamova břitva» Příkaz k vyloučení zbytečných pojmů, ale tak akorát koncept prázdné množiny je v matematice velmi užitečný. Všimněte si, že prázdná množina má rozměr -1 (mínus jedna) - nulové prvky jsou body a jejich řídké soustavy, jednorozměrné prvky jsou úsečky a o velmi složitých matematických prvcích s fraktálovou dimenzí jsme mluvili v kapitole o fraktálech .

Je zajímavé, že celé budování matematiky: čísla, čísla, funkce, operátory, integrály, diferenciály, rovnice... lze odvodit z jednoho pojmu – prázdné množiny! Stačí předpokládat, že existuje prázdná množina, nově vytvořené prvky lze spojovat do množin, aby bylo možné vybudovat veškerou matematiku. Takto sestrojil přirozená čísla německý logik Gottlob Frege. Nula je třída množin, jejichž prvky jsou ve vzájemné korespondenci s prvky prázdné množiny. Jednou je třída množin, jejichž prvky jsou ve vzájemné shodě s prvky množiny, jejímž jediným prvkem je prázdná množina. Two je třída množin, jejichž prvky jsou jedna ku jedné, přičemž prvky množiny tvoří prázdná množina a množina, jejíž jediným prvkem je prázdná množina... a tak dále. Na první pohled se zdá, že jde o něco velmi složitého, ale ve skutečnosti tomu tak není.

Modrá se nade mnou rozprostřela

vonělo po vřesu a vonělo po mátě...

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Je těžké si to představit

Nic není těžké si představit. V příběhu Stanisława Lema „Jak byl zachráněn svět“ konstruktér Trurl sestrojil stroj, který by dělal vše, co začíná písmenem. Když Klapaucius nařídil, aby byla postavena Nic, stroj začal ze světa odstraňovat různé předměty – s konečným cílem odstranit vše. Než vyděšený Klapaucius zastavil vůz, ze světa nenávratně zmizely galeje, tisy, věšáky, hacky, říkanky, šlehače, pufy, mlýnky, špekáčky, filidrony a mrazy. A skutečně zmizeli navždy...

Józef Tischner ve svých Dějinách horské filozofie velmi dobře psal o nicotě. Během své poslední dovolené jsem se rozhodl zažít tuto nicotu, totiž jsem se vydal do rašelinišť mezi Nowym Targem a Jabłonkou na Podhalí. Tato oblast se dokonce nazývá Pustachia. Jdeš, jedeš, ale silnice neubývá – samozřejmě v našem skromném, polském měřítku. Jednou jsem jel autobusem přes kanadskou provincii Saskatchewan. Za oknem bylo kukuřičné pole. Na půl hodiny jsem si zdřímnul. Když jsem se probudil, jeli jsme stejným kukuřičným polem... Ale počkat, je to prázdné? V jistém smyslu je absence změny jen prázdnotou.

Jsme zvyklí na neustálou přítomnost různých předmětů kolem nás a od Něco nemůžete utéct ani se zavřenýma očima. "Myslím, tedy jsem," řekl Descartes. Pokud jsem si již něco myslel, pak existuji, což znamená, že na světě je alespoň něco (totiž já). Existuje to, co jsem si myslel? O tom lze diskutovat, ale v moderní kvantové mechanice je známý Heisenbergův princip: každé pozorování narušuje stav pozorovaného objektu. Dokud to neuvidíme Nic neexistuje, a když začneme hledat, předmět přestane být Jako a stane se Něco. Začíná to být absurdní antropický princip: Nemá smysl se ptát, jaký by byl svět, kdybychom neexistovali. Svět je takový, jaký se nám zdá. Možná ostatní bytosti uvidí Zemi jako hranatou?

Pozitron (takový kladný elektron) je díra v prostoru, „není tam žádný elektron“. V procesu anihilace elektron skočí do této díry a „nic se neděje“ – není žádná díra, žádný elektron. Přeskočím spoustu vtipů o dírách ve švýcarském sýru („čím víc mám, tím míň...“). Slavný skladatel John Cage už své nápady využil natolik, že složil (?) hudební dílo (?), ve kterém orchestr 4 minuty 33 sekund nehybně sedí a samozřejmě nic nehraje. „Čtyři minuty a třicet tři sekund jsou dvě stě sedmdesát tři, 273 a mínus 273 stupňů je absolutní nula, na které se zastaví veškerý pohyb,“ vysvětlil skladatel (?).

Filtr na nulu, nic, nick, nick, nic, nula!

Jerzy ve filmu Andrzeje Wajdy V průběhu let,

dny plynou"

A co všichni?

Mnoho lidí (od prostých farmářů až po významné filozofy) přemýšlelo o fenoménu existence. V matematice je situace jednoduchá: existuje něco, co je konzistentní.

Zmizela v okrajových polích

V chrpách, plevelech a lvích tlamách...

No, takové věci se stávají

Zejména ve sklizni a během sklizně

zvláště…

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Všechno je v druhém extrému Nic. V matematice to víme Všechno neexistuje. Jen příliš nepřesná představa, že by jeho existence byla bez kontroverzí. To lze pochopit na příkladu starého paradoxu: "Je-li Bůh všemohoucí, pak stvořit kámen, který zvedne?" Matematický důkaz, že nemohou existovat množiny všech množin, je založen na větě zpěvák-Bershtein, který říká, že „nekonečné číslo“ (matematicky: základní číslovka) množina všech členů dané množiny je větší než počet prvků této množiny.

Pokud má množina prvky, pak má 2ⁿ podmnožiny; například když = 3 a množina se skládá z {1, 2, 3}, pak existují následující podmnožiny:

• tři dvouprvkové sady: v každé z nich chybí jedno z čísel 1, 2, 3,
• jedna prázdná sada,
• tři jednoprvkové sady,
• celá sada {1,2,3}

– jen osm, 2³A čtenářům, kteří nedávno absolvovali školu, bych rád připomněl odpovídající vzorec:

Každý z newtonských symbolů v tomto vzorci určuje počet sad k-prvků v sadě -prvků.

V matematice se binomické koeficienty objevují na mnoha dalších místech, například v zajímavých vzorcích pro redukované násobení:

a z jejich přesné podoby je mnohem zajímavější jejich vzájemná závislost.

Je těžké pochopit, co - pokud jde o logiku a matematiku - je a co všechno není. Argumenty pro neexistenci Stejné jako u Medvídka Pú, který se zdvořile zeptal svého hosta, Tygra, mají tygři vůbec rádi med, žaludy a bodláky? "Tygrům se líbí všechno," odpověděl ten, ze kterého Kubus usoudil, že když se jim líbí všechno, pak také rádi spí na podlaze, takže se on, Vinnie, může vrátit do postele.

Další argument Russellův paradox. Ve městě je holič, který holí všechny muže, kteří se neholí sami. Holí se sám? Obě odpovědi jsou v rozporu s uvedenou podmínkou, že jsou poraženi ti, a pouze ti, kteří to sami neudělají.

Hledám sbírku všech kolekcí

Na závěr podám chytrý, ale nanejvýš matematický důkaz, že neexistuje žádná množina všech množin (neplést si s ní).

Nejprve si ukážeme, že pro jakoukoli neprázdnou množinu X je nemožné najít vzájemně jedinečnou funkci, která by tuto množinu mapovala na množinu jejích podmnožin P(X). Předpokládejme tedy, že tato funkce existuje. Označme to tradičním f. Co je f z x? Toto je sbírka. Patří xf k x? To není známo. Buď musíš, nebo nemusíš. Ale pro nějaké x musí být stále takové, že nepatří do f z x. Dobře, pak uvažujme množinu všech x, pro které x nepatří do f(x). Označte ji (tuto množinu) A. Odpovídá některému prvku a množiny X. Patří a do A? Předpokládejme, že byste měli. Ale A je množina obsahující pouze ty prvky x, které nepatří do f(x) ... No, možná nepatří do A? Ale množina A obsahuje všechny prvky této vlastnosti, a tedy i A. Konec důkazu.

Pokud by tedy existovala množina všech množin, byla by sama o sobě podmnožinou, což je podle předchozí úvahy nemožné.

Uf, myslím, že tento důkaz nevidělo mnoho čtenářů. Spíše jsem to přinesl, abych ukázal, co museli matematici dělat na konci devatenáctého století, kdy začali studovat základy své vlastní vědy. Ukázalo se, že problémy leží tam, kde je nikdo nečekal. Navíc pro celou matematiku tyto úvahy o základech nehrají roli: ať se ve sklepích děje, co se děje – celá budova matematiky stojí na pevné skále.

Mezitím na vrcholu...

Zaznamenáváme ještě jednu moralitu z příběhů Stanislava Lema. Na jedné ze svých cest se Iyon Tichi dostal na planetu, jejíž obyvatelé po dlouhém vývoji konečně dosáhli nejvyššího stupně vývoje. Všichni jsou silní, dokážou cokoli, vše mají na dosah ruky... a nedělají nic. Lehnou si na písek a nasypou si ho mezi prsty. "Pokud je všechno možné, nestojí to za to," vysvětlují šokovanému Ijonovi. Kéž se to naší evropské civilizaci nestane...