Proč nedělíme nulou?

Čtenáři se mohou divit, proč věnuji celý článek tak banálnímu problému? Důvodem je ohromující počet studentů (!) náhodně provádějících operaci pod jménem. A nejen studenti. Občas chytám i učitele. Co budou studenti takových učitelů umět v matematice? Bezprostředním důvodem k napsání tohoto textu byl rozhovor s učitelem, pro kterého dělení nulou nebyl problém ...

S nulou ano, kromě trápení se vůbec s ničím, protože ji v běžném životě opravdu nepotřebujeme používat. Nechodíme nakupovat pro nula vajec. „V místnosti je jeden člověk“ zní nějak přirozeně a „nula lidí“ zní uměle. Lingvisté říkají, že nula je mimo jazykový systém.

Bez nuly se obejdeme i na bankovních účtech: stačí použít - jako na teploměru - červenou a modrou pro kladné a záporné hodnoty (všimněte si, že pro teplotu je přirozené používat červenou pro kladná čísla a pro bankovní účty je to naopak, protože debet by měl spustit varování, takže se důrazně doporučuje červená).

Zahrnutím nuly jako přirozeného čísla se dotýkáme problému derivování Kardinální čísla od Domácnost. V rámci 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

mocnina čísla je stejná jako číslo místa, kde stojí. Jinak je to již v pořadí 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Na druhém místě je počet singletonových sad, na třetím počet sad se dvěma prvky a tak dále. Musíme vysvětlit, proč například nečíslujeme místa sportovců na soutěžích od nuly. Pak by první hráč dostal stříbrnou medaili (zlato získal vítěz nula) atd. Poněkud podobný postup se používal ve fotbale – nevím, jestli si čtenáři uvědomují, že „první liga“ znamená "následovat nejlepší." “ a nultá liga se nazývá „hlavní liga“.

Občas slyšíme argument, že musíme začít od nuly, protože to IT lidem vyhovuje. V návaznosti na tyto úvahy by se měla změnit definice kilometru - měla by být 1024 m, protože to je počet bajtů v kilobajtu (odkážu na vtip známý informatikům: „Jaký je rozdíl mezi prvákem a student informatiky a student pátého ročníku této fakulty? že kilobajt je 1000 kilobajtů, poslední - že kilometr je 1024 metrů")!

Další hledisko, které je již třeba brát vážně, je toto: vždy měříme od nuly! Stačí se podívat na jakékoli měřítko na pravítku, na domácí váze, dokonce i na hodinách. Jelikož měříme od nuly a počítání lze chápat jako měření s bezrozměrnou jednotkou, pak bychom měli počítat od nuly.

Je to jednoduchá záležitost, ale...

Zanechme obecné úvahy a vraťme se k dělení nulou. Věc je jednoduchá a byla by jednoduchá, kdyby nebylo... tak co? Přemýšlejme a zkoušejme. Kolik to může být - jedna děleno nulou? Podívejme se: 1/0 = x. Vynásobte obě strany jmenovatelem levé strany.

Dostáváme 1=0. Něco je špatně! Co se stalo? Aha, hádejte! Předpoklad, že existuje podíl jednoty a nuly, vede k rozporu. A pokud nelze vydělit jedno nulou, pak jiné číslo ano. Pokud, čtenáři, krčíte rameny a divíte se, proč autor (tedy já) píše o takovýchto otřepaných frázích, pak ... jsem moc rád!

Vzorec 0/0 = 0 by se dal tvrdošíjně obhajovat, ale odporuje pravidlu, že výsledek dělení čísla sám o sobě je roven jedné. Absolutně, ale zcela odlišné jsou v kalkulu takové symboly jako 0/0, °/° a podobně. Neznamenají žádné číslo, ale jsou symbolickým označením pro určité sekvence určitého typu.

V elektrotechnické knize jsem našel zajímavé srovnání: dělení nulou je stejně nebezpečné jako elektřina o vysokém napětí. To je normální: Ohmův zákon říká, že poměr napětí k odporu je roven proudu: V = U / R. Pokud by byl odpor nulový, procházel by vodičem teoreticky nekonečný proud, který by spálil všechny možné vodiče.

Jednou jsem básnil o nebezpečí dělení nulou pro každý den v týdnu. Pamatuji si, že nejdramatičtější den byl čtvrtek, ale škoda veškeré mé práce v této oblasti.

Když něco vydělíte nulou

Velmi brzy v pondělí

Týden, co se právě stalo

Už jsi selhal.

Když úterý odpoledne

Do jmenovatele dáte nulu

Pak vám řeknu, že se mýlíte

Špatný matematik!

Když přes nulu, přes perverzi,

Chci se rozdělit ve středu

Dostanete se do mnoha problémů

Máš v hlavě seno a vodu!

Byl s námi jistý Bartek.

Byl v rozporu s pravidly.

Ve čtvrtek je dělitelný nulou.

Už není mezi námi!

Pokud se vás zmocní podivná touha

V pátek vydělte nulou

Budu upřímný, budu upřímný:

Špatný začátek tohoto víkendu.

Když je nula, tak někde v sobotu

Dělič bude váš (není tučný)

Klekněte si pod plot kostela.

Toto je vaše vzkříšení.

Chceš nulu pod pomlčkou,

Udělejte si v neděli dovolenou

Přineste křídu, černou tabuli.

Napište: není to dělitelné nulou!

Nula je spojena s prázdnotou a nicotou. K matematice se totiž dostal jako veličina, která, když se přidá k nějaké, ji nezmění: x + 0 = x. Ale nyní se nula objevuje v několika dalších hodnotách, zejména jako měřítko start. Pokud za oknem není ani kladná teplota, ani mráz, pak ... je to nula, což neznamená, že teplota není vůbec žádná. Památník nulté třídy není ten, který je dávno zbouraný a prostě neexistuje. Naopak je to něco jako Wawel, Eiffelova věž a Socha svobody.

Význam nuly v pozičním systému lze jen stěží přeceňovat. Víte, čtenáři, kolik nul má Bill Gates na svém bankovním účtu? Nevím, ale chtěl bych polovinu. Napoleon Bonaparte si zjevně všiml, že lidé jsou jako nuly: význam získávají díky postavení. Ve filmu Andrzeje Wajdy As the Years, As the Days Pass vášnivý umělec Jerzy exploduje: "Philister je nula, nihil, nic, nic, nihil, nula." Ale nula může být dobrá: „nulová odchylka od normy“ znamená, že všechno jde dobře, a jen tak dál!

Vraťme se k matematice. Nulu lze beztrestně sčítat, odečítat a násobit. "Přibrala jsem nula kilogramů," říká Manya Anye. "A to je zajímavé, protože jsem zhubla stejně," odpovídá Anya. Snězme tedy šestkrát šest nulových porcí zmrzliny, to nám neublíží.

Nemůžeme dělit nulou, ale můžeme dělit nulou. Talíř nulových knedlíků lze snadno rozdat těm, kteří čekají na jídlo. Kolik každý dostane?

Nula není kladná ani záporná. Toto a číslo nepozitivníи nezáporné. Vyhovuje nerovnostem x≥0 a x≤0. Rozpor „něco pozitivního“ není „něco negativního“, ale „něco negativního nebo rovného nule“. Matematici, v rozporu s pravidly jazyka, budou vždy říkat, že něco se „rovná nule“ a ne „nule“. Pro ospravedlnění této praxe máme: pokud čteme vzorec x = 0 „x se rovná nule“, pak x = 1 čteme „x je rovno jedné“, což by se dalo spolknout, ale co třeba „x = 1534267“ ? Znaku 0 také nelze přiřadit číselnou hodnotu⁰ani zvýšit nulu na zápornou mocninu. Na druhou stranu můžete libovolně odmocnit nulu... a výsledek bude vždy nula. 

Exponenciální funkce y = a^x, kladný základ a, se nikdy nestane nulou. Z toho vyplývá, že neexistuje žádný nulový logaritmus. Logaritmus a k základu b je skutečně exponent, na který musí být základ zvýšen, aby se získal logaritmus a. Pro a = 0 takový indikátor neexistuje a nula nemůže být základem logaritmu. Nula ve „jmenovateli“ Newtonova symbolu je však něco jiného. Předpokládáme, že tyto konvence nevedou k rozporu.

falešné důkazy

Dělení nulou je častým předmětem falešných důkazů a stává se to i zkušeným matematikům. Dovolte mi uvést dva z mých oblíbených příkladů. První je algebraický. „Dokážu“, že všechna čísla jsou si rovna. Předpokládejme, že existují dvě čísla, která nejsou stejná. Proto je jeden z nich větší než druhý, nechť a > b. Předpokládejme, že c je jejich rozdíl

c \uXNUMXd a - b. Máme tedy a - b = c, odkud a = b + c.

Obě tyto části vynásobíme a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – bc.

Překládám ak na levou stranu, samozřejmě si pamatuji na změnu znaménka:

a² - ab - ac = ab - b2 - bc.

Vylučuji společné faktory:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Sdílím a mám, co jsem chtěl:

a = b.

A vlastně ještě zvláštnější, protože jsem předpokládal, že a > b, a vyšlo mi, že a = b. Pokud je v příkladu výše "podvádění" snadno rozpoznatelné, pak v geometrickém důkazu níže to tak snadné není. Dokážu, že ... lichoběžník neexistuje. Obrazec běžně nazývaný lichoběžník neexistuje.

Předpokládejme ale nejprve, že existuje něco jako lichoběžník (ABCD na obrázku níže). Má dvě rovnoběžné strany („základny“). Protáhneme tyto základny, jak je znázorněno na obrázku, abychom dostali rovnoběžník. Jeho úhlopříčky rozdělují druhou úhlopříčku lichoběžníku na segmenty, jejichž délky jsou označeny x, y, z, jako v obrázek 1. Z podobnosti odpovídajících trojúhelníků získáme proporce:

kde definujeme:

Oraz

kde definujeme:

Odečtěte strany rovnosti označené hvězdičkami:

 Zkrácením obou stran o x − z dostaneme – a/b = 1, což znamená, že a + b = 0. Čísla a, b jsou však délky základen lichoběžníku. Pokud je jejich součet nula, pak jsou také nulové. To znamená, že postava jako lichoběžník nemůže existovat! A protože obdélníky, kosočtverce a čtverce jsou také lichoběžníky, pak, milý čtenáři, neexistují ani kosočtverce, obdélníky a čtverce ...

Hádej Hádej

Sdílení informací je ze čtyř základních činností nejzajímavější a nejnáročnější. Zde se poprvé setkáváme s fenoménem tak častým v dospělosti: „hádej odpověď, a pak si ověř, jestli jsi uhodl správně“. Velmi výstižně to vyjádřil Daniel K. Dennett („Jak dělat chyby?“, v How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Varšava, 1997):

Tato metoda „hádání“ nezasahuje do našeho dospělého života – možná proto, že se ji učíme brzy a hádání není obtížné. Ideologicky ke stejnému jevu dochází např. při matematické (úplné) indukci. Na stejném místě „uhádneme“ vzorec a poté zkontrolujeme, zda je náš odhad správný. Studenti se vždy ptají: „Jak jsme znali vzor? Jak se to dá vyndat?" Když mi studenti položí tuto otázku, změním jejich otázku na vtip: "Vím to, protože jsem profesionál, protože jsem placený za to, abych to věděl." Studentům ve škole lze odpovídat stejným stylem, jen vážněji.

Cvičení. Všimněte si, že sčítání a písemné násobení začínáme nejnižší jednotkou a dělení nejvyšší jednotkou.

Kombinace dvou nápadů

Učitelé matematiky vždy poukazovali na to, že to, čemu říkáme separace dospělých, je spojení dvou koncepčně odlišných myšlenek: Корпус i oddělení.

První (Корпус) se vyskytuje v úlohách, kde archetyp je:

Rozděl-rozděl Jsou to úkoly jako:

? (Zachováváme původní styl tohoto problému, převzatý z příručky Juliana Zgozalewicze vydané v Krakově v roce 1892 - zlotý je rýnský zlotý, měna, která byla v oběhu v Rakousko-Uhersku až do začátku XNUMX. století).

Nyní zvažte dva problémy s nejstarší učebnice matematiky v polštině, otec Tomasz Clos (1538). Je to divize nebo kupé? Vyřešte to tak, jak by měli školáci v XNUMX století:

(Překlad z polštiny do polštiny: V sudu je čtvrt litru a čtyři hrnce. Hrnec je čtyři litry. Někdo koupil 20 sudů vína za 50 zł na obchod. Clo a daň (spotřební?) bude 8 zł. Kolik prodat litr a vydělat 8 zł?)

Sport, fyzika, kongruence

Někdy ve sportu musíte něco vydělit nulou (poměr gólů). No, rozhodčí se s tím nějak vypořádají. V abstraktní algebře jsou však na pořadu dne. nenulová množstvíjehož druhá mocnina je nula. Dá se to i jednoduše vysvětlit.

Uvažujme funkci F, která spojuje bod (y, 0) s bodem v rovině (x, y). Co je F², tedy dvojité provedení F? Nulová funkce - každý bod má obrázek (0,0).

Konečně nenulové veličiny, jejichž druhá mocnina je 0, jsou pro fyziky téměř denním chlebem a čísla ve tvaru a + bε, kde ε ≠ 0, ale ε² = 0, volají matematici dvojitá čísla. Vyskytují se v matematické analýze a v diferenciální geometrii.

Koneckonců, v aritmetice existuje něco, co má dělení nulou alespoň v názvu. Pochází to z shoda. Nechť Z označuje množinu celých čísel. Dělení množiny Z p znamená, že každé číslo (celé číslo) přirovnáváme k některým jiným, totiž těm, kterými je jejich rozdíl dělitelný. Takže, když máme pět typů čísel odpovídajících číslům 0, 1, 2, 3, 4 - možné zbytky při dělení 5. Vzorec je napsán takto:

mod, když je rozdíl násobek.

Pro = 2 máme pouze dvě čísla: 0 a 1. Rozdělení celých čísel do dvou takových tříd je ekvivalentní jejich rozdělení na sudé a liché. Pojďme to teď vyměnit. Rozdíl je vždy dělitelný 1 (libovolné celé číslo je dělitelné 1). Je možné vzít =0? Zkusme: kdy je rozdíl dvou čísel násobkem nuly? Pouze když jsou tato dvě čísla stejná. Dělení množiny celých čísel nulou tedy dává smysl, ale není to zajímavé: nic se neděje. Je však třeba zdůraznit, že se nejedná o dělení čísel ve smyslu známém ze základní školy.

Takové akce jsou prostě zakázány, stejně jako dlouhá a široká matematika.

Rýže. 2. Identifikace čísel pomocí srovnání

(režim 5 a režim 2)