obrácené kouzlo
O „kouzlu protikladů“ se hodně mluví, a to nejen v matematice. Pamatujte, že opačná čísla jsou ta, která se liší pouze znaménkem: plus 7 a mínus 7. Součet opačných čísel je nula. Pro nás (tedy matematiky) jsou ale zajímavější reciproční. Pokud je součin čísel roven 1, pak jsou tato čísla vzájemně inverzní. Každé číslo má svůj opak, každé nenulové číslo má svou inverzní. Reciproční z recipročního je semeno.
Inverze nastává všude tam, kde jsou dvě veličiny ve vzájemném vztahu, takže pokud jedna roste, druhá klesá odpovídající rychlostí. "Relevantní" znamená, že součin těchto množství se nemění. Ze školy si pamatujeme: jde o nepřímý poměr. Pokud se chci dostat do cíle dvakrát rychleji (tj. zkrátit čas na polovinu), musím zdvojnásobit rychlost. Pokud se objem utěsněné nádoby s plynem zmenší nkrát, pak se její tlak zvýší nkrát.
V základním vzdělávání pečlivě rozlišujeme rozdílné a relativní srovnání. "Kolik ještě"? - "Kolikrát víc?"
Zde jsou některé školní aktivity:
1 úloha. Ze dvou kladných hodnot je první 5krát větší než druhá a zároveň 5krát větší než první. jaké jsou rozměry?
2 úloha. Pokud je jedno číslo o 3 větší než druhé a druhé o 2 větší než třetí, o kolik větší je první číslo než třetí? Pokud je první kladné číslo dvakrát druhé a první číslo je třikrát třetí, kolikrát je první číslo větší než třetí?
3 úloha. V úloze 2 jsou povolena pouze přirozená čísla. Je možné takové uspořádání, jak je tam popsáno?
4 úloha. Ze dvou kladných hodnot je první 5krát druhá a druhá je 5krát první. Je to možné?
Koncept „průměrný“ nebo „průměrný“ se zdá velmi jednoduchý. Pokud jsem v pondělí ujel na kole 55 km, v úterý 45 km a ve středu 80 km, průměrně jsem na kole ujel 60 km za den. S těmito výpočty bezvýhradně souhlasíme, i když jsou trochu zvláštní, protože jsem za jeden den neujel 60 km. Stejně snadno přijímáme podíly na osobu: pokud do šesti dnů navštíví restauraci dvě stě lidí, pak je průměrná denní sazba 33 a třetina lidí. HM!
Problémy jsou pouze s průměrnou velikostí. Rád jezdím na kole. Využil jsem tedy nabídky cestovní kanceláře „Pojedeme s námi“ – dovezou zavazadla do hotelu, kde klient jezdí rekreačně na kole. V pátek jsem jel čtyři hodiny: první dvě rychlostí 24 km za hodinu. Pak jsem se tak unavil, že za další dva tempem jen 16 za hodinu. Jaká byla moje průměrná rychlost? Samozřejmě (24+16)/2=20km=20km/h.
V sobotu však byla zavazadla ponechána na hotelu a já se šel podívat na zříceninu hradu, která je vzdálená 24 km a po zhlédnutí jsem se vrátil. Jel jsem hodinu jedním směrem, zpět jsem se vracel pomaleji, rychlostí 16 km v hodině. Jaká byla moje průměrná rychlost na trase hotel-hrad-hotel? 20 km za hodinu? Samozřejmě že ne. Vždyť jsem ujel celkem 48 km a trvalo mi to hodinu („tam“) a hodinu a půl zpět. 48 km za dvě a půl hodiny, tzn. hodina 48/2,5=192/10=19,2 km! V této situaci není průměrná rychlost aritmetickým průměrem, ale harmonickou daných hodnot:
a tento dvoupatrový vzorec lze číst následovně: harmonický průměr kladných čísel je převrácenou hodnotou aritmetického průměru jejich převrácené hodnoty. Převrácená hodnota součtu převrácených hodnot se objevuje v mnoha sborech školních úkolů: pokud jeden pracovník vykopává hodiny, druhý - b hodin, pak při společné práci kopají včas. vodní bazén (jeden za hodinu, druhý po b hodin). Pokud má jeden rezistor R1 a druhý R2, pak mají paralelní odpor.
Pokud jeden počítač dokáže vyřešit problém za několik sekund, jiný počítač za b sekund, pak když budou spolupracovat...
Stop! Zde analogie končí, protože vše závisí na rychlosti sítě: efektivitě připojení. Pracovníci si také mohou navzájem překážet nebo si pomáhat. Když jeden člověk dokáže vykopat studnu za osm hodin, zvládne to osmdesát dělníků za 1/10 hodiny (nebo 6 minut)? Když šest nosičů vynese klavír do prvního patra za 6 minut, jak dlouho bude jednomu z nich trvat, než klavír dopraví do šedesátého patra? Absurdita takových problémů připomíná omezenou použitelnost veškeré matematiky na problémy „ze života“.
O mocném prodejci
Váhy se již nepoužívají. Připomeňme, že na jednu misku takových vah bylo umístěno závaží a vážené zboží bylo položeno na druhou, a když byla váha v rovnováze, vážilo zboží tolik, kolik bylo závaží. Obě ramena zátěže musí být samozřejmě stejně dlouhá, jinak bude vážení chybné.
Ajo. Představte si prodejce, který má váhu s nestejným pákovým efektem. K zákazníkům však chce být upřímný a zboží váží ve dvou várkách. Nejprve na jednu pánev položí závaží a na druhou odpovídající množství zboží - aby byly váhy v rovnováze. Poté zváží druhou "polovinu" zboží v obráceném pořadí, to znamená, že váhu položí na druhou misku a zboží na první. Vzhledem k tomu, že ruce nejsou stejné, "poloviny" nejsou nikdy stejné. A svědomí prodávajícího je čisté a kupující si pochvalují jeho poctivost: "Co jsem zde odstranil, to jsem pak přidal."
Podívejme se však blíže na chování prodejce, který chce být i přes nejistou váhu upřímný. Nechť ramena váhy mají délky a a b. Pokud je jedna z misek zatížena kilogramovým závažím a druhá x zbožím, pak jsou váhy v rovnováze, pokud ax = b poprvé a bx = a podruhé. První část zboží se tedy rovná b / kilogram, druhá část je a / b. Dobrá hmotnost má a = b, kupující tedy obdrží 2 kg zboží. Podívejme se, co se stane, když a ≠ b. Pak a – b ≠ 0 a z redukovaného násobícího vzorce máme
Došli jsme k nečekanému výsledku: zdánlivě férový způsob „zprůměrování“ měření v tomto případě funguje ve prospěch kupujícího, který dostává více zboží.
5 úloha. (Důležité, v žádném případě v matematice!). Komár váží 2,5 miligramu a slon pět tun (to je zcela správný údaj). Vypočítejte aritmetický průměr, geometrický průměr a harmonický průměr hmotností komárů a slonů (váhy). Zkontrolujte výpočty a zjistěte, zda dávají smysl kromě aritmetických cvičení. Podívejme se na další příklady matematických výpočtů, které v „reálném životě“ nedávají smysl. Tip: Na jeden příklad jsme se již podívali v tomto článku. Znamená to, že anonym, jehož názor jsem našel na internetu, měl pravdu: „Matematika klame lidi čísly“?
Ano, souhlasím s tím, že ve vznešenosti matematiky můžete lidi „oblbnout“ – každá druhá reklama na šampon říká, že o nějaké procento zvyšuje nadýchanost. Máme hledat další příklady užitečných každodenních nástrojů, které lze použít pro kriminální aktivity?
Babičky!
Název této pasáže je sloveso (první osoba množného čísla), nikoli podstatné jméno (nominativ množného čísla jedna tisícina kilogramu). Harmonie znamená řád a hudbu. Pro staré Řeky byla hudba vědním odvětvím – nutno přiznat, že když to říkáme, přenášíme si současný význam slova „věda“ do doby před naším letopočtem. Pythagoras žil v XNUMX století př. n. l. Nejen, že neznal počítač, mobilní telefon a e-mail, ale také nevěděl, kdo jsou Robert Lewandowski, Mieszko I., Karel Veliký a Cicero. Neznal arabské ani římské číslice (začaly se používat kolem XNUMX. století př. n. l.), nevěděl, co jsou to punské války... Ale znal hudbu...
Věděl, že na strunných nástrojích jsou koeficienty vibrací nepřímo úměrné délce vibrujících částí strun. Věděl, věděl, jen to nedokázal vyjádřit tak, jak to dnes děláme.
Frekvence dvou vibrací strun, které tvoří oktávu, jsou v poměru 1:2, to znamená, že frekvence vyšší noty je dvojnásobkem frekvence nižší. Správný poměr vibrací pro kvintu je 2:3, kvarta je 3:4, čistá velká tercie je 4:5, malá tercie je 5:6. Jsou to příjemné souhláskové intervaly. Pak jsou dva neutrální, s vibračními poměry 6:7 a 7:8, pak disonantní - velký tón (8:9), malý tón (9:10). Tyto zlomky (poměry) jsou jako poměry po sobě jdoucích členů posloupnosti, kterou matematici (právě z tohoto důvodu) nazývají harmonická řada:
je teoreticky nekonečný součet. Poměr kmitů oktávy můžeme napsat jako 2:4 a mezi ně dát kvintu: 2:3:4, to znamená, že oktávu rozdělíme na kvintu a kvartu. V matematice se tomu říká dělení harmonických segmentů:
Rýže. 1. Pro muzikanta: rozdělení oktávy AB na kvintu AC.Pro matematika: Harmonická segmentace
Co mám na mysli, když mluvím (výše) o teoreticky nekonečném součtu, jako je harmonická řada? Ukazuje se, že takový součet může být libovolně velký, hlavní je, že dlouho sčítáme. Ingrediencí je stále méně, ale je jich stále více. co převládá? Zde vstupujeme do oblasti matematické analýzy. Ukazuje se, že ingredience jsou vyčerpány, ale ne příliš rychle. Ukážu, že když vezmu dostatek ingrediencí, mohu shrnout:
libovolně velký. Vezměme si „například“ n = 1024. Seskupme slova, jak je znázorněno na obrázku:
V každé závorce je každé slovo větší než to předchozí, samozřejmě kromě toho posledního, které se rovná samo sobě. V následujících závorkách máme 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 a 512 součástek; hodnota součtu v každé závorce je větší než ½. To vše je více než 5½. Přesnější výpočty by ukázaly, že tato částka je přibližně 7,50918. Ne moc, ale vždy, a můžete vidět, že když vezmu n jakkoli velké, dokážu překonat jakékoli číslo. Tento neuvěřitelně pomalý (například jen s přísadami máme první desítku), ale nekonečný růst matematiky vždy fascinoval.
Cesta do nekonečna s harmonickou řadou
Zde je hádanka do docela vážné matematiky. Máme neomezenou zásobu obdélníkových bloků (co mohu říci, obdélníkových!) o rozměrech řekněme 4 × 2 × 1. Uvažujme systém skládající se z několika (na Obr. 2 - čtyři) bloky, uspořádané tak, že první je nakloněn o ½ své délky, druhý shora o ¼ a tak dále, třetí o jednu šestinu. No, možná, aby to bylo opravdu stabilní, nakloníme první cihlu o něco méně. Na výpočtech nezáleží.
Rýže. 2. Určení těžiště
Je také snadné pochopit, že protože obrazec složený z prvních dvou bloků (počítáno shora) má střed symetrie v bodě B, pak B je těžiště. Definujme geometricky těžiště systému, složeného ze tří horních bloků. Zde stačí velmi jednoduchý argument. Rozdělme v duchu tříblokovou skladbu na dvě horní a třetí spodní. Tento střed musí ležet na úseku spojujícím těžiště obou částí. V jakém bodě této epizody?
Existují dva způsoby, jak určit. V prvním využijeme pozorování, že tento střed musí ležet uprostřed trojblokové pyramidy, tedy na přímce protínající druhý, střední blok. Druhým způsobem rozumíme tomu, že vzhledem k tomu, že dva horní bloky mají dvojnásobnou celkovou hmotnost než jeden blok #3 (nahoře), těžiště v této sekci musí být dvakrát tak blízko k B než ke středu. S třetího bloku. Podobně najdeme další bod: nalezený střed tří bloků spojíme se středem S čtvrtého bloku. Střed celého systému je ve výšce 2 a v bodě, který dělí segment 1 až 3 (tedy ¾ jeho délky).
Výpočty, které provedeme o něco dále, vedou k výsledku znázorněnému na obr. obr. 3. Po sobě jdoucí těžiště jsou odstraněna z pravého okraje spodního bloku:
Průmět těžiště pyramidy je tedy vždy uvnitř základny. Věž se nepřevrhne. Nyní se podívejme na Obr. 3 a na chvíli použijme jako základ pátý blok shora (ten označený světlejší barvou). Horní sklon:
tedy jeho levý okraj je o 1 dále než pravý okraj základny. Tady je další houpačka:
Jaký je největší švih? Už víme! Neexistuje žádný největší! Vezmete-li i ty nejmenší kostky, můžete dosáhnout převýšení jednoho kilometru – bohužel pouze matematicky: na stavbu tolika kostek by celá Země nestačila!
Rýže. 3. Přidejte další bloky
Nyní výpočty, které jsme nechali výše. Všechny vzdálenosti spočítáme "vodorovně" na ose x, protože to je vše. Bod A (těžiště prvního bloku) je 1/2 od pravého okraje. Bod B (střed systému dvou bloků) je vzdálen 1/4 od pravého okraje druhého bloku. Počátečním bodem nechť je konec druhého bloku (nyní přejdeme ke třetímu). Kde je například těžiště jednotlivého bloku #3? Poloviční délka tohoto bloku je tedy 1/2 + 1/4 = 3/4 od našeho referenčního bodu. Kde je bod C? Ve dvou třetinách segmentu mezi 3/4 a 1/4, tedy v bodě předtím, změníme referenční bod na pravý okraj třetího bloku. Těžiště systému tří bloků je nyní odstraněno z nového referenčního bodu a tak dále. Těžiště Cn věž složená z n bloků je vzdálena 1/2 n od okamžitého referenčního bodu, kterým je pravý okraj základního bloku, tedy n-tý blok shora.
Vzhledem k tomu, že řada reciprokátů se rozchází, můžeme získat jakoukoli velkou variaci. Dalo by se to skutečně realizovat? Je to jako nekonečná cihlová věž – dříve nebo později se zhroutí vlastní vahou. V našem schématu minimální nepřesnosti v umístění bloků (a pomalý nárůst dílčích součtů série) znamenají, že se daleko nedostaneme.
