Nová strojová matematika? Elegantní vzory a bezradnost

Podle některých odborníků dokážou stroje vynalézt nebo chcete-li objevit zcela novou matematiku, kterou jsme my lidé nikdy neviděli a nenapadlo. Jiní namítají, že stroje samy nic nevymyslí, pouze dokážou jinak znázornit vzorce, které známe, a s některými matematickými problémy si vůbec neporadí.

Nedávno představila skupina vědců z Technion Institute v Izraeli a Google automatizovaný systém pro generování větkterému podle matematika říkali Ramanujanův stroj Srinivasi Ramanujanakterý vyvinul tisíce průkopnických vzorců v teorii čísel s malým nebo žádným formálním vzděláním. Systém vyvinutý výzkumníky proměnil řadu originálních a důležitých vzorců na univerzální konstanty, které se objevují v matematice. Článek na toto téma byl publikován v časopise Nature.

Pro výpočet hodnoty univerzální konstanty lze použít jeden ze strojově generovaných vzorců Katalánské číslo, účinnější než použití dříve známých receptur objevených lidmi. To však tvrdí vědci Ramanujanovo auto nemá lidem brát matematiku, ale spíše nabídnout pomoc matematikům. To však neznamená, že by jejich systém postrádal ambice. Jak píší, Stroj se „pokouší napodobit matematickou intuici velkých matematiků a poskytnout rady pro další matematická hledání“.

Systém vytváří předpoklady o hodnotách univerzálních konstant (jako jsou) zapsané jako elegantní vzorce nazývané pokračující zlomky nebo pokračující zlomky (1). Toto je název metody vyjádření reálného čísla jako zlomku ve speciálním tvaru nebo limity takových zlomků. Pokračovací zlomek může být konečný nebo mít nekonečně mnoho podílů._i/b_i; zlomek A_k/B_k získaný vyřazením parciálních zlomků v pokračující frakci, počínaje (k + 1)-tou, se nazývá k-tý redukt a lze ji vypočítat podle vzorců:_-1= 1, A₀=b₀, B_-1=0, V₀= 1, A_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2, B_k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; konverguje-li posloupnost reduktů ke konečné limitě, pak se pokračující zlomek nazývá konvergentní, jinak je divergentní; Pokračovací zlomek se nazývá aritmetický jestliže_i= 1, str₀ dokončeno, b_i (i>0) – přírodní; aritmetický pokračující zlomek konverguje; každé reálné číslo expanduje na pokračující aritmetický zlomek, který je konečný pouze pro racionální čísla.

1. Příklad zápisu pí jako pokračování zlomku

Ramanujanův strojový algoritmus vybere libovolné univerzální konstanty pro levou stranu a jakékoli pokračující zlomky pro pravou stranu a poté s určitou přesností vypočítá každou stranu zvlášť. Pokud se zdá, že se obě strany překrývají, jsou množství vypočítána s větší přesností, aby bylo zajištěno, že se nejedná o shodu nebo nepřesnost. Důležité je, že již existují vzorce, které umožňují s libovolnou přesností vypočítat například hodnotu univerzálních konstant, takže jedinou překážkou při kontrole shody stránky je doba výpočtu.

Před implementací takových algoritmů museli matematici použít existující. matematické znalosti i teorémyudělat takový předpoklad. Díky automatickým odhadům generovaným algoritmy je mohou matematici použít k opětovnému vytvoření skrytých teorémů nebo „elegantnějších“ výsledků.

Nejpozoruhodnějším objevem badatelů nejsou ani tak nové poznatky, jako spíše nový předpoklad překvapivé důležitosti. To dovoluje výpočet katalánské konstanty, univerzální konstanta, jejíž hodnota je potřebná v mnoha matematických problémech. Vyjádření jako pokračující zlomek v nově objeveném předpokladu umožňuje dosud nejrychlejší výpočty a překonává dřívější vzorce, jejichž zpracování v počítači trvalo déle. Zdá se, že to znamená nový bod pokroku pro informatiku od doby, kdy počítače poprvé porazily šachisty.

Co AI nezvládne

Strojové algoritmy Jak vidíte, některé věci dělají inovativním a efektivním způsobem. Tváří v tvář jiným problémům jsou bezmocní. Skupina výzkumníků z University of Waterloo v Kanadě objevila třídu problémů s používáním strojové učení. S objevem souvisí paradox, který v polovině minulého století popsal rakouský matematik Kurt Gödel.

Matematik Shai Ben-David a jeho tým představili model strojového učení nazvaný maximální predikce (EMX) v publikaci v časopise Nature. Zdálo by se, že jednoduchý úkol se pro umělou inteligenci ukázal jako nemožný. Problém způsobený týmem Shay Ben-David spočívá v předvídání nejziskovější reklamní kampaně zaměřené na čtenáře, kteří web nejčastěji navštěvují. Množství možností je tak velké, že neuronová síť není schopna najít funkci, která by správně predikovala chování uživatelů webu, přičemž má k dispozici pouze malý vzorek dat.

Ukázalo se, že některé problémy vyvolané neuronovými sítěmi jsou ekvivalentní hypotéze kontinua, kterou předložil Georg Cantor. Německý matematik dokázal, že mohutnost množiny přirozených čísel je menší než mohutnost množiny reálných čísel. Pak položil otázku, na kterou nedokázal odpovědět. Konkrétně si kladl otázku, zda existuje nekonečná množina, jejíž mohutnost je menší než mohutnost množina reálných číselale více síly množina přirozených čísel.

Rakouský matematik XNUMX století. Kurt Gödel dokázal, že hypotéza kontinua je v současném matematickém systému nerozhodnutelná. Nyní se ukazuje, že matematici navrhující neuronové sítě čelili podobnému problému.

Takže, i když je to pro nás nepostřehnutelné, jak vidíme, je bezmocné tváří v tvář zásadním omezením. Vědci si kladou otázku, zda s problémy této třídy, jako jsou například nekonečné množiny.