Na nový školní rok

Většina čtenářů byla někde na dovolené – ať už v naší krásné zemi, v sousedních zemích, nebo třeba i v zámoří. Využijme toho, dokud jsou pro nás hranice otevřené... Co bylo nejčastějším znamením na našich krátkých i dlouhých cestách? Toto je šipka směřující k sjezdu z dálnice, pokračování horské stezky, vchodu do muzea, vchodu na pláž a tak dále a tak dále. Co je na tom všem tak zajímavého? Matematicky moc ne. Ale pojďme se zamyslet: toto znamení je zřejmé všem ... představitelům civilizace, ve které se kdysi střílelo z luku. Je pravda, že to nelze dokázat. Neznáme žádnou jinou civilizaci. Nicméně pravidelný pětiúhelník a jeho hvězdicová verze, pentagram, jsou matematicky zajímavější.

Nepotřebujeme žádné vzdělání, abychom tyto postavy považovali za zajímavé a zajímavé. Pokud, čtenáři, popíjíte pětihvězdičkový koňak v pětihvězdičkovém hotelu na náměstí Place des Stars v Paříži, možná jste se narodili pod šťastnou hvězdou. Když nás někdo požádá, abychom nakreslili hvězdu, bez váhání nakreslíme pěticípou, a když je partner překvapen: „Toto je symbol bývalého SSSR!“, můžeme odpovědět: Stáje!“.

Pentagram neboli pěticípá hvězda, pravidelný pětiúhelník, zvládlo celé lidstvo. Nejméně čtvrtina zemí, včetně USA a bývalého SSSR, jej zařadila do svých znaků. Jako děti jsme se učili kreslit pěticípou hvězdu, aniž bychom zvedli tužku ze stránky. V dospělosti se stává naší vůdčí hvězdou, neměnnou, vzdálenou, symbolem naděje a osudu, věštcem. Podívejme se na to z boku.

Co nám říkají hvězdy?

Historici se shodují, že až do XNUMX. století před naším letopočtem zůstávalo intelektuální dědictví národů Evropy ve stínu kultur Babylonu, Egypta a Fénicie. A najednou šesté století přináší renesanci a tak rychlý rozvoj kultury a vědy, že někteří novináři (např. Daniken) tvrdí – těžko říct, zda tomu sami věří – že by to bez zásahu nebylo možné. z vězňů. z vesmíru.

Pokud jde o Řecko, má případ racionální vysvětlení: v důsledku stěhování národů se obyvatelé Peloponéského poloostrova dozvídají více o kultuře sousedních zemí (například fénická písmena pronikají do Řecka a vylepšují abecedu ), a oni sami začnou kolonizovat středomořskou pánev. To jsou vždy velmi příznivé podmínky pro rozvoj vědy: nezávislost spojená s kontakty se světem. Bez nezávislosti se odsuzujeme k osudu banánových republik Střední Ameriky, bez kontaktů k Severní Koreji.

Na číslech záleží

XNUMX. století před naším letopočtem bylo zvláštním stoletím v dějinách lidstva. Aniž by o sobě věděli nebo možná neslyšeli, tři velcí myslitelé učili: Buddha, Konfucius i Pythagoras. První dva vytvořili náboženství a filozofie, které jsou dodnes živé. Je role třetího z nich omezena na objev té či oné vlastnosti určitého trojúhelníku?

Na přelomu 624. a 546. století (asi XNUMX - asi XNUMX př. n. l.) žil v Milétu v novodobé Malé Asii Takový. Některé zdroje uvádějí, že to byl vědec, jiné, že byl bohatý obchodník a další ho nazývají podnikatelem (zřejmě během jednoho roku koupil všechny lisy na olej a pak si je půjčil za lichvářskou platbu). Někteří v něm podle současné módy a modelu vědy zase vidí patrona: zjevně pozval moudré muže, nakrmil je a ošetřil a pak řekl: „No, pracujte pro slávu já a celá věda." Mnoho seriózních zdrojů se však přiklání k tvrzení, že Thales, maso a krev, vůbec neexistoval a jeho jméno sloužilo pouze jako zosobnění konkrétních idejí. Jak to bylo, tak to bylo a asi se to nikdy nedozvíme. Historik matematiky E. D. Smith napsal, že kdyby nebyl Thales, nebyl by ani Pythagoras a nikdo jako Pythagoras a bez Pythagora by nebyl ani Platón, ani nikdo jako Platón. Spíše. Ponechme však stranou, co by se stalo, kdyby.

Pythagoras (asi 572 – asi 497 př. n. l.) učil v Crotone v jižní Itálii a právě tam se zrodilo intelektuální hnutí pojmenované po mistrovi: pythagorejství. Bylo to eticko-náboženské hnutí a sdružení založené, jak bychom to dnes nazvali, na tajemstvích a tajných učeních, považujících studium vědy za jeden z prostředků očisty duše. Během života jedné nebo dvou generací prošel pythagorejství obvyklými fázemi vývoje myšlenek: počáteční růst a expanze, krize a úpadek. Skutečně skvělé nápady tam jejich životy nekončí a nikdy nezemřou navždy. Intelektuální učení Pythagora (vymyslel termín, který si říkal: filozof nebo přítel moudrosti) a jeho žáků ovládalo celý starověk, pak se vrátilo do renesance (pod názvem panteismus) a my jsme vlastně pod jeho vlivem. dnes. Principy pythagorejství jsou v kultuře (alespoň v Evropě) natolik zakořeněné, že si jen stěží uvědomujeme, že bychom mohli uvažovat jinak. Jsme překvapeni neméně než Molièrův Monsieur Jourdain, který byl překvapen, když se dozvěděl, že celý život mluvil v próze.

Hlavní myšlenkou pythagorejství bylo přesvědčení, že svět je organizován podle přísného plánu a harmonie a že povoláním člověka je tuto harmonii znát. A právě reflexe harmonie světa tvoří učení pythagorejství. Pythagorejci byli jistě jak mystici, tak matematici, i když teprve dnes je snadné je tak náhodně zařadit. Vydláždili cestu. Začali studovat harmonii světa, nejprve studovali hudbu, astronomii, aritmetiku atd.

I když lidstvo podlehlo magii „navždy“, teprve pythagorejská škola ji povýšila na obecně platný zákon. "Čísla dělají mír" – tento slogan byl nejlepší charakteristikou školy. Čísla měla duši. Každý něco znamenal, každý něco symbolizoval, každý odrážel částečku této harmonie Vesmíru, tzn. prostor. Samotné slovo znamená „řád, pořádek“ (čtenáři vědí, že kosmetika vyhlazuje obličej a zvýrazňuje krásu).

Různé zdroje dávají různé významy, které pythagorejci dávali každému číslu. Tak či onak by stejné číslo mohlo symbolizovat několik pojmů. Nejdůležitější byly šest (dokonalý počet) i deset - součet po sobě jdoucích čísel 1 + 2 + 3 + 4, složený z dalších čísel, jejichž symbolika se zachovala dodnes.

Pythagoras tedy učil, že čísla jsou počátkem a zdrojem všeho, že – pokud si to představíte – se navzájem „míchají“ a my vidíme pouze výsledky toho, co dělají. Mystika čísel, kterou vytvořil, či spíše rozvinul Pythagoras, nemá dnes „dobrý otisk“ a i seriózní autoři zde vidí směs „patosu a absurdity“ nebo „vědy, mystiky a čisté nadsázky“. Je těžké pochopit, jak mohl slavný historik Alexander Kravčuk napsat, že Pythagoras a jeho studenti naplnili filozofii vizemi, mýty, pověrami – jako by ničemu nerozuměl. Protože to tak vypadá jen z pohledu našeho XNUMX. století. Pythagorejci nic nenapínali, své teorie vytvářeli s dokonalým svědomím. Možná za pár století někdo napíše, že celá teorie relativity byla také absurdní, domýšlivá a vynucená. A číselná symbolika, která nás na čtvrt milionu let dělila od Pýthagora, pronikla hluboko do kultury a stala se její součástí, jako řecké a německé báje, středověké rytířské eposy, ruské lidové pověsti o Kostovi nebo vize Julia Slováka slovanský papež.

Záhadná iracionalita

V geometrii byli Pythagorejci ohromeni figurami-podobnymi. A právě při analýze Thalesovy věty, základního zákona pravidel podobnosti, došlo ke katastrofě. Byly objeveny nesouměřitelné úseky, a tudíž iracionální čísla. Epizody, které nelze měřit žádným obecným měřítkem. Čísla, která nejsou proporcemi. A byl nalezen v jedné z nejjednodušších forem: čtverec.

Dnes ve školní vědě tuto skutečnost obcházíme, téměř si toho nevšimneme. Úhlopříčka čtverce je √2? Skvělé, kolik to může být? Na kalkulačce stiskneme dvě tlačítka: 1,4142 ... No, už víme, jaká je druhá odmocnina ze dvou. Který? Je to iracionální? Možná je to tím, že používáme takové zvláštní znamení, ale přeci jen ve skutečnosti je to 1,4142. Koneckonců, kalkulačka nelže.

Pokud si čtenář myslí, že přeháním, tak ... velmi dobře. Polské školy na tom zřejmě nejsou tak špatně jako třeba v britských, kde je všechno neměřitelnost někde mezi pohádkami.

V polštině není slovo „iracionální“ tak děsivé jako jeho protějšek v jiných evropských jazycích. Racionální čísla existují racionální, racionální, racionální, tzn.

Zvažte úvahu, že √2 je to iracionální číslo, to znamená, že to není žádný zlomek p/q, kde p a q jsou celá čísla. V moderním pojetí to vypadá takto... Předpokládejme, že √2 = p / q a že tento zlomek již nelze zkracovat. Zejména p a q jsou liché. Umocněme: 2q²=p². Číslo p nemůže být liché, od té doby p² by také bylo a levá strana rovnosti je násobkem 2. P je tedy sudé, tj. p = 2r, tedy p²= 4r². Zmenšíme rovnici 2q²= 4r². dostaneme d²= 2r² a vidíme, že q musí být také sudé, což jsme předpokládali, že tomu tak není. Přijato rozpor důkaz končí – tento vzorec tu a tam najdete v každé matematické knize. Tento nepřímý důkaz je oblíbeným trikem sofistů.

Zdůrazňuji však, že jde o moderní uvažování – pythagorejci neměli tak vyvinutý algebraický aparát. Hledali společnou míru strany čtverce a jeho úhlopříčky, což je přivedlo na myšlenku, že taková společná míra nemůže být. Předpoklad jeho existence vede k rozporu. Tvrdá zem mi vyklouzla pod nohama. Vše by mělo být možné popsat čísly a úhlopříčka čtverce, kterou si každý může nakreslit klackem na písek, nemá žádnou délku (tedy je měřitelná, protože žádná jiná čísla nejsou). "Naše víra byla marná," říkali Pythagorejci. Co dělat?

Byly učiněny pokusy zachránit se sektářskými metodami. Každý, kdo se odváží odhalit existenci iracionálních čísel, bude usmrcen, a zjevně sám mistr – v rozporu s přikázáním mírnosti – provede první větu. Pak se vše stane závěsem. Podle jedné verze byli Pythagorejci zabiti (poněkud zachráněni a díky nim nebyl celý nápad odnesen do hrobu), podle jiné sami učedníci, tak poslušní, vyhostí zbožňovaného mistra a ten někde skončí svůj život v exilu . Sekta přestává existovat.

Všichni známe rčení Winstona Churchilla: "Nikdy v historii lidských konfliktů tolik lidí tolik nedlužilo tak málo." Šlo o piloty, kteří v roce 1940 bránili Anglii před německými letouny. Pokud nahradíme „lidské konflikty“ „lidskými myšlenkami“, pak toto rčení platí pro hrstku Pythagorejců, kteří unikli (tak málo) z pogromu na konci XNUMX. XNUMX. století před naším letopočtem.

Takže "myšlenka prošla bez úhony." Co bude dál? Přichází zlatý věk. Řekové porazí Peršany (Maratón – 490 př. n. l., Platba – 479). Demokracie je stále silnější. Vznikají nová centra filozofického myšlení a nové školy. Stoupenci pythagorejství se potýkají s problémem iracionálních čísel. Někteří říkají: „Nepochopíme toto tajemství; můžeme o tom jen přemýšlet a obdivovat Uncharted." Ti druzí jsou pragmatičtější a nerespektují Záhadu: „Pokud je s těmito figurami něco v nepořádku, nechme je být, po nějakých 2500 letech bude vše známo. Možná čísla nevládnou světem? Začněme geometrií. Už nejsou důležitá čísla, ale jejich proporce a poměry.

Zastánci prvního směru jsou historikům matematiky známi jako akustikaŽili ještě pár století a to je vše. Ti poslední volali sami matematika (z řeckého mathein = vědět, učit se). Nemusíme nikomu vysvětlovat, že tento přístup zvítězil: žije dvacet pět století a má úspěch.

Vítězství matematiků nad auzmatikou se projevilo zejména tím, že se objevil nový symbol Pýthagorejců: od nynějška to byl pentagram (pentás = pět, gramma = písmeno, nápis) - pravidelný pětiúhelník ve tvaru hvězda. Jeho větve se protínají extrémně proporcionálně: celek se vždy vztahuje k větší části a větší část k menší části. On zavolal božská proporce, pak sekularizoval na zlato. Staří Řekové (a za nimi celý eurocentrický svět) věřili, že tento podíl je lidskému oku nejpříjemnější, a setkávali se s ním téměř všude.

(Cyprian Camille Norwid, "Promethidion")

Zakončím ještě jednou pasáží, tentokrát z básně "Faust" (přeložil Vladislav August Kostelský). No a pentagram je také obrazem pěti smyslů a pověstné "čarodějovy nohy". Doktor Faust se chtěl v Goethově básni chránit před ďáblem tím, že na práh svého domu nakreslil tento symbol. Udělal to náhodně a stalo se toto:

Faust

M epistopheles

Faust

A to vše o obvyklém pětiúhelníku na začátku nového školního roku.