Coronavirus a matematické vzdělávání – částečně objednané sbírky

Virus, který nás zasáhl, pohání rychlou reformu školství. zejména na vyšších stupních vzdělávání. Na toto téma se dá napsat delší esej, určitě bude proud doktorských dizertací o metodice distančního studia. Z určitého pohledu jde o návrat ke kořenům a k zapomenutým návykům samostudia. Tak tomu bylo například na střední škole Kremenec (v Kremenci, nyní na Ukrajině, která existovala v letech 1805-31, vegetovala do roku 1914 a svůj rozkvět zažila v letech 1922-1939). Studenti se tam učili sami - teprve poté, co se naučili, přišli učitelé s opravami, konečnými upřesněními, pomocí na obtížných místech atd. e. Když jsem se stal studentem, také říkali, že bychom měli sami získávat znalosti, že pouze objednáváme a posíláme kurzy na univerzitu. Ale tehdy to byla jen teorie...

Na jaře 2020 nejsem sám, kdo zjistil, že lekce (včetně přednášek, cvičení atd.) lze velmi efektivně vést na dálku (Google Meet, Microsoft Teams atd.), a to za cenu spousty práce na straně učitele a jen touha "vzdělávat se" na straně druhé; ale také s jistým pohodlím: sedím doma, na židli a na tradičních přednáškách studenti také často dělali něco jiného. Účinek takového tréninku může být ještě lepší než u tradičního, již od středověku, systému třídních hodin. Co z něj zbude, až se virus dostane do pekla? Myslím... docela hodně. Ale uvidíme.

Dnes budu mluvit o částečně objednaných sadách. Je to jednoduché. Protože binární relace v neprázdné množině X se nazývá relace částečného řádu, pokud existuje

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filozof,

předseda Polské akademie věd v letech 1957–1962).

1. Reflexivní, tj. pro každé ∈ existuje ",
2. Kolemjdoucí, tzn. pokud ", a ", pak ",
3. Poloasymetrické, tzn («∧«)→ =

Řetězec je množina s následující vlastností: pro libovolné dva prvky je tato množina buď "nebo y". Antichain je...

Přestaň, přestaň! Dá se něco z toho pochopit? Samozřejmě, že je. Ale pochopil už někdo ze čtenářů (vědomí opaku), co je tady?

Nemyslím si! A to je kánon výuky matematiky. Také ve škole. Jednak slušná strohá definice a pak, kdo neusnul nudou, určitě něco pochopí. Tato metoda byla zavedena "velkými" učiteli matematiky. Musí být opatrný a přísný. Je pravda, že to tak nakonec má být. Matematika musí být exaktní věda (viz také: ).

Musím se přiznat, že na univerzitě, kde pracuji po odchodu z Varšavské univerzity do penze, jsem také tolik let učil. Jen v něm byl ten notoricky známý kýbl se studenou vodou (ať to tak zůstane: kýbl byl potřeba!). Náhle se vysoká abstrakce stala lehkou a příjemnou. Pozor: snadné neznamená snadné. Lehký boxer to má také těžké.

Usměji se nad svými vzpomínkami. Základy matematiky mě učil tehdejší děkan katedry, prvotřídní matematik, který právě přijel z dlouhodobého pobytu ve Spojených státech, což bylo v té době samo o sobě něco mimořádného. Myslím, že byla trochu snobská, když trochu zapomněla polštinu. Zneužila staré polské „co“, „proto“, „azalea“ a vymyslela termín: „poloasymetrický vztah“. Rád to používám, je to opravdu přesné. Mám rád. To ale od studentů nevyžaduji. To se běžně nazývá „nízká antisymetrie“. Deset krásných.

Už dávno, protože v sedmdesátých letech (minulého století) došlo k velké, radostné reformě výuky matematiky. To se shodovalo se začátkem krátkého období vlády Eduarda Gierka – jistého otevření naší země světu. „Děti lze také učit vyšší matematice,“ zvolali Velcí učitelé. Pro děti byl sestaven souhrn vysokoškolské přednášky „Základy matematiky“. To byl trend nejen v Polsku, ale v celé Evropě. Řešení rovnice nestačilo, musel být vysvětlen každý detail. Aby to nebylo nepodložené, každý ze čtenářů umí vyřešit soustavu rovnic:

ale studenti museli každý krok zdůvodňovat, odkazovat na relevantní tvrzení atd. To byl klasický převis formy nad obsahem. Teď je pro mě snadné kritizovat. I já jsem kdysi byl zastáncem tohoto přístupu. Je to vzrušující... pro mladé lidi, kteří jsou nadšení pro matematiku. To jsem samozřejmě byl (a pro pozornost i já).

Ale dost odbočování, pojďme na věc: přednáška, která byla „teoreticky“ určena pro druháky polytechniky a nebýt jí, byla by suchá jako kokosové vločky. trochu přeháním...

Dobré ráno pro vás. Dnešním tématem je částečný úklid. Ne, nejedná se o náznak nedbalého čištění. Nejlepší srovnání by bylo zvážit, co je lepší: rajčatová polévka nebo krémový dort. Odpověď je jasná: podle čeho. Pro dezert - sušenky a pro výživné jídlo: polévka.

V matematice se zabýváme čísly. Jsou seřazeny: jsou větší a menší, ale ze dvou různých čísel je jedno vždy menší, což znamená, že druhé je větší. Jsou uspořádány v pořadí, jako písmena v abecedě. V třídním deníku může být pořadí následující: Adamchik, Baginskaya, Choinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (jsou to přátelé a spolužáci z mé třídy!). Nepochybujeme také o tom, že Matusjak „Matushelyansky“ Matushevsky „Matisjak. Symbol pro "dvojitou nerovnost" má význam "před".

V mém cestovatelském klubu se snažíme, aby seznamy byly abecední, ale jmenovitě např. Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz atd. V úředních záznamech by bylo pořadí obrácené. Matematici označují abecední pořadí jako lexikografické (lexikon je víceméně jako slovník). Na druhou stranu takový řád, ve kterém se ve jménu složeném ze dvou částí (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) nejprve podíváme na druhou část, je antilexikografickým řádem pro matematiky. Dlouhé názvy, ale velmi jednoduchý obsah.

1. Lineární řád: stanice a zastávky na železnici Habovka-Zakopane z Podhale, postavené v roce 1899 (dekódování zkratek nechávám na čtenáři).

Všechny takové objednávky se nazývají řádkové objednávky. Postupně řadíme: první, druhý, třetí. Všechno je v pořádku, od prvního bodu po poslední. Ne vždy to dává smysl. Knihy v knihovně totiž řadíme ne takto, ale do sekcí. Pouze uvnitř oddělení se řadíme lineárně (většinou abecedně).

2. Lineární pořadí: při spouštění motoru automobilu provádíme úkony v konzistentním pořadí.

U větších projektů, zejména v týmové práci, již nemáme lineární řád. Pojďme se podívat Obr. 3. Chceme postavit malý hotel. Peníze už máme (buňka 0). Vyřizujeme povolení, sbíráme materiály, zahajujeme stavbu a zároveň děláme reklamní kampaň, hledáme zaměstnance a tak dále a tak dále. Když dosáhneme "10", mohou se ubytovat první hosté (příklad z příběhů pana Dombrowskiho a jejich malého hotelu na předměstí Krakova). My máme nelineární pořadí – některé věci se mohou dít paralelně.

V ekonomii se seznámíte s konceptem kritické cesty. Toto je soubor akcí, které se musí provádět postupně (a tomu se v matematice říká řetěz, více za chvíli) a které zaberou nejvíce času. Zkrácení doby výstavby je reorganizací kritické cesty. Ale o tom více na jiných přednáškách (připomínám, že čtu „univerzitní přednášku“). Zaměřujeme se na matematiku.

Diagramy jako na obrázku 3 se nazývají Hasseovy diagramy (Helmut Hasse, německý matematik, 1898–1979). Každé komplexní úsilí musí být naplánováno tímto způsobem. Vidíme sekvence akcí: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematici jim říkají struny. Celá myšlenka se skládá ze čtyř řetězců. Naproti tomu skupiny aktivit 1-2-3-4, 5-6-7 a 8-9 jsou antiřetězce. Tady je to, jak se jmenují. Faktem je, že v konkrétní skupině žádná z akcí nezávisí na předchozí.

4. Toto je také Hasseův diagram.

Pojďme obrázek 4. Co je působivé? Ale mohla by to být mapa metra v nějakém městě! Podzemní dráhy jsou vždy seskupeny do linií – nepřecházejí z jedné do druhé. Řádky jsou samostatné řádky. Ve městě Obr. 4 je pece řádek (pamatujte si to pece píše se "boldem" - polsky se tomu říká polotlustý).

Na tomto schématu (obr. 4) je krátký žlutý ABF, šestistanicový ACFPS, zelený ADGL, modrý DGMRT a nejdelší červený. Matematik řekne: tento Hasseův diagram má pece řetězy. Je to na červené čáře sedm stanice: AEINRUW. A co antichainy? Jsou tam sedm. Čtenář si již všiml, že jsem to slovo dvakrát podtrhl sedm.

Antichain to je taková množina stanic, že ​​se z jedné na druhou bez přestupu nedá dostat. Když trochu „rozumíme“, uvidíme následující antiřetězce: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Zkontrolujte prosím, zda například není možné cestovat z žádné ze stanic BCLTV na jinou BCTLV bez přestupu, přesněji: aniž byste se museli vracet na níže uvedenou stanici. Kolik antichainů existuje? Sedm. Jaká velikost je největší? Upéct (opět tučně).

Dokážete si představit, studenti, že shoda těchto čísel není náhodná. Tento. To bylo objeveno a prokázáno (tedy vždy) v roce 1950 Robertem Palmerem Dilworthem (1914–1993, americký matematik). Počet řad potřebných k pokrytí celé sady se rovná velikosti největšího antichainu a naopak: počet antichainů se rovná délce nejdelšího antichainu. Tak je tomu vždy v částečně objednané sadě, tzn. takovou, kterou lze vizualizovat. Hassego diagram. To není úplně striktní a správná definice. To je to, co matematici nazývají "pracovní definice". To se poněkud liší od „pracovní definice“. Toto je nápověda, jak chápat částečně uspořádané množiny. Toto je důležitá součást každého školení: podívejte se, jak to funguje.

Anglická zkratka je - toto slovo zní ve slovanských jazycích krásně, trochu jako bodlák. Všimněte si, že bodlák je také rozvětvený.

Moc hezké, ale kdo to potřebuje? Vy, milí studenti, to ke složení zkoušky potřebujete a to je asi dostatečný důvod k jejímu studiu. Poslouchám, jaké otázky? Poslouchám, pane zpod okna. Otázkou je, bude to někdy Pánu ve vašem životě užitečné? Možná ne, ale pro někoho chytřejšího než vy, určitě... Možná pro analýzu kritických cest ve složitém ekonomickém projektu?

Tento text píšu v polovině června, na Varšavské univerzitě probíhají volby rektora. Četl jsem několik komentářů od uživatelů internetu. Existuje překvapivé množství nenávisti (nebo „nenávist“) vůči „vzdělaným lidem“. Někdo bez obalu napsal, že vysokoškolsky vzdělaní lidé vědí méně než vysokoškolsky vzdělaní. Do diskuze se samozřejmě nebudu pouštět. Jen mě mrzí, že se v Polské lidové republice vrací zažitý názor, že vše se dá dělat kladivem a dlátem. Vracím se k matematice.

Dillworthova věta má několik zajímavých aplikací. Jeden z nich je známý jako manželský teorém.Obr. 6). 

Je zde skupina žen (spíše dívek) a o něco větší skupina mužů. Každá dívka si myslí něco takového: "Mohla bych si vzít tuhle, za jinou, ale nikdy v životě za třetí." A tak dále, každý má své vlastní preference. Nakreslíme schéma a ke každému z nich vede šíp od chlapíka, kterého jako kandidáta na oltář neodmítá. Otázka: Lze páry spárovat tak, aby si každý našel manžela, kterého přijme?

Philip Hallův teorém, říká, že to lze udělat - za určitých podmínek, které zde nebudu rozebírat (pak na příští přednášce, prosím, studenti). Všimněte si však, že mužská spokojenost se zde vůbec nezmiňuje. Jak víte, ženy si nás vybírají a ne naopak, jak se nám zdá (připomínám, že jsem autor, ne autor).

Trochu vážné matematiky. Jak Hallův teorém vyplývá z Dilwortha? Je to velmi jednoduché. Podívejme se znovu na obrázek 6. Řetězy tam jsou velmi krátké: mají délku 2 (běží ve směru). Sada mužíčků je protiřetěz (právě proto, že šipky jsou pouze směrem). Celou kolekci tak můžete pokrýt tolika antiřetízky, kolik je mužů. Takže každá žena bude mít šíp. A to znamená, že může vypadat jako chlap, kterého přijímá!!!

Počkejte, někdo se ptá, to je všechno? Je to všechno aplikace? Hormony se nějak dohodnou a proč matematika? Za prvé, toto není celá aplikace, ale pouze jedna z velké série. Podívejme se na jeden z nich. Nechť (obr. 6) znamená nikoli zástupce lepšího pohlaví, ale spíše prozaické kupující, a to jsou značky např. auta, pračky, přípravky na hubnutí, nabídky cestovních kanceláří atd. Každý kupující má značky, které přijímá a odmítá. Dá se něco udělat, aby se něco prodalo všem a jak? Tady končí nejen vtipy, ale i znalosti autora článku na toto téma. Vím jen, že analýza je založena na poměrně složité matematice.

Výuka matematiky ve škole je výuka algoritmů. To je důležitá součást učení. Ale pomalu se posouváme k tomu, abychom se neučili ani tak matematiku, jako spíše matematickou metodu. Dnešní přednáška byla právě o tomto: mluvíme o abstraktních mentálních konstrukcích, přemýšlíme o každodenním životě. Hovoříme o řetězcích a antichainech v sadách s inverzními, tranzitivními a dalšími vztahy, které používáme v modelech prodejce-kupující. Všechny výpočty za nás udělá počítač. Matematické modely zatím vytvářet nebude. Stále vyhráváme svým myšlením. Každopádně doufám, že co nejdéle!