Barevné čtverce a zatmění Slunce

Článek popisuje mé hodiny pro středoškoláky - stipendisty Národního dětského fondu. Nadace vyhledává zvláště nadané děti a mládež (od XNUMX. ročníku ZŠ až po střední školy) a vybraným studentům nabízí „stipendia“. Ty však vůbec nespočívají ve výběru hotovosti, ale v komplexní péči o rozvoj talentu zpravidla po mnoho let. Na rozdíl od mnoha jiných projektů tohoto typu berou svěřence nadace vážně známí vědci, kulturní osobnosti, významní humanisté a další moudří lidé i někteří politici.

Činnost nadace zasahuje do všech oborů, které jsou předměty základní školy, kromě sportu, včetně výtvarného. Fond vznikl v roce 1983 jako protilék tehdejší reality. Do fondu se může přihlásit kdokoli (většinou přes školu, nejlépe do konce školního roku), ale samozřejmě existuje určité síto, určitý kvalifikační postup.

Jak jsem již zmínil, článek vychází z mých mistrovských kurzů, konkrétně v Gdyni, v březnu 2016, na 24. nižší střední škole na střední škole III. námořnictvo. Tyto semináře již řadu let pořádá pod záštitou nadace Wojciech Thomalczyk, učitel mimořádného charismatu a vysoké intelektuální úrovně. V roce 2008 se dostal do první desítky v Polsku, kterým byl udělen titul profesor pedagogiky (před mnoha lety stanovený zákonem). V prohlášení: „Vzdělávání je osou světa“ je mírná nadsázka.

a měsíc jsou vždy fascinující – pak můžete mít pocit, že žijeme na maličké planetě v obrovském prostoru, kde je vše v pohybu, měřeno v centimetrech a sekundách. Trochu mě to i děsí, také časové hledisko. Dozvídáme se, že další úplné zatmění, viditelné z oblasti dnešní Varšavy, bude v ... 2681. Jsem zvědavý, kdo to uvidí? Zdánlivé velikosti Slunce a Měsíce na naší obloze jsou téměř stejné – proto jsou zatmění tak krátká a tak velkolepá. Po staletí by tyto krátké minuty měly astronomům stačit k tomu, aby viděli sluneční korónu. Je zvláštní, že se dějí dvakrát do roka... ale to znamená jen to, že někde na Zemi je lze krátkodobě vidět. V důsledku slapových pohybů se Měsíc vzdaluje od Země - za 260 milionů let bude tak daleko, že se (my???) dočkáme pouze prstencových zatmění.

Zřejmě první, kdo předpověděl zatmění, byl Thales z Milétu (28-585 století před naším letopočtem). Zda k němu skutečně došlo, tedy zda jej předpověděl, se už asi nedozvíme, protože to, že k zatmění v Malé Asii došlo 567. května 566 př. n. l., je fakt potvrzený moderními výpočty. Samozřejmě uvádím údaje pro dnešní účtování času. Když jsem byl malý, představoval jsem si, jak lidé počítají roky. Tak toto je například XNUMX př. n. l., Silvestr se blíží a lidé se radují: už jen XNUMX let př. n. l.! Jak šťastní museli být, když konečně nadešla „naše éra“! Jaký přelom tisíciletí, který jsme zažili před několika lety!

Matematika počítání dat a rozsahů zatmění, není nijak zvlášť komplikované, ale je napěchované všemožnými faktory spojenými s pravidelností a ještě hůře s nerovnoměrným pohybem těla po drahách. Tuto matematiku bych dokonce rád znal. Jak mohl Thales z Milétu provést potřebné výpočty? Odpověď je jednoduchá. Musíte mít mapu oblohy. Jak takovou mapu vyrobit? To také není nic těžkého, staří Egypťané věděli, jak na to. O půlnoci vycházejí na střechu chrámu dva kněží. Každý z nich si sedne a kreslí, co vidí (jako jeho kolega). Po dvou tisících letech víme vše o pohybu planet...

Krásná geometrie nebo zábava na "koberečku"

Řekové neměli rádi čísla, uchýlili se ke geometrii. To je to, co uděláme. Náš zatmění budou jednoduché, barevné, ale stejně zajímavé a skutečné. Přijímáme konvenci, že modrá postava se pohybuje tak, že zastíní červenou. Nazvěme modrou postavu měsíc a červenou postavu slunce. Klademe si následující otázky:

1. jak dlouho trvá zatmění;
2. když je pokryta polovina cíle;

   Rýže. 1 Vícebarevný "koberec" se sluncem a měsícem

3. jaké je maximální pokrytí;
4. je možné analyzovat závislost pokrytí štítem na čase? V tomto článku (jsem limitován množstvím textu) se zaměřím na druhou otázku. Je za tím pěkná geometrie, snad bez nudných výpočtů. Podívejme se na obr. 1. Dá se předpokládat, že bude spojen s ... zatměním Slunce?

Musím upřímně říci, že úkoly, které budu probírat, budou speciálně vybrané, přizpůsobené znalostem a dovednostem studentů středních a vysokých škol. Ale trénujeme na takové úkoly, jako hudebníci hrají stupnice a sportovci dělají obecná rozvojová cvičení. Kromě toho, není to jen krásný koberec (obr. 1)?

Rýže. 2 „Modrý“ Měsíc a „Červené“ Slunce

Naše nebeská tělesa, alespoň zpočátku, budou barevné čtverce. Měsíc je modrý, slunce červené (nejlépe na vybarvení). se současností zatmění Měsíc pronásleduje slunce po obloze, dohání ho ... a zavře ho. U nás to bude stejné. Nejjednodušší případ, kdy se Měsíc pohybuje vzhledem ke Slunci, jak je znázorněno na Obr. 2. Zatmění začíná, když se okraj měsíčního kotouče dotkne okraje slunečního kotouče (obr. 2) a končí, když jej překročí.

Rýže. 3 Měsíc se blíží ke slunci diagonálně

Předpokládáme, že se „Měsíc“ posune o jednu buňku za jednotku času, například za minutu. Zatmění pak trvá osm jednotek času, řekněme minut. Polovina zatmění Slunce Plně ztmaveno Polovina číselníku se zavře dvakrát: po 2 a 6 minutách. Graf procenta zatemnění je jednoduchý. Během prvních dvou minut se štít zavírá rovnoměrně rychlostí nula až 1, další dvě minuty je vystaven stejnou rychlostí.

Zde je zajímavější příklad (obr. 3). Měsíc se blíží ke slunci diagonálně. Podle naší dohody o platbách za minutu trvá zatmění 8√2 minut - uprostřed této doby máme úplné zatmění. Vypočítejme, jaká část slunce je pokryta po čase t (obr. 3). Pokud od začátku zatmění uplynulo t minut a v důsledku toho je Měsíc takový, jak je znázorněno na obr. 5, tedy (pozor!) Proto je pokryta (plocha čtverce APQR), rovná se polovině slunečního disku; proto byla pokryta, když, tzn. po 4 minutách (poté 4 minuty před koncem zatmění).

Rýže. 4 Graf funkce "stínování".

Celek trvá jeden okamžik (t = 4√2), a graf funkce "stínovaná část" se skládá ze dvou oblouků parabol (obr. 4).

Náš modrý měsíc se dotkne rohu s rudým sluncem, ale zakryje ho, nepůjde diagonálně, ale mírně diagonálně.Zajímavá geometrie se objeví, když trochu zkomplikujeme pohyb (obr. 6). Směr pohybu je nyní vektorový [4,3], tedy „čtyři buňky doprava, tři buňky nahoru“. Poloha Slunce je taková, že zatmění začíná (pozice A), když se strany „nebeských těles“ sbíhají do čtvrtiny jejich délky. Když se Měsíc přesune do polohy B, zakryje jednu šestinu Slunce a v poloze C polovinu. V pozici D máme úplné zatmění a pak se vše vrátí zpět, „jak bylo“.

Rýže. 5 Část Slunce skrytá v čase t

Zatmění končí, když je Měsíc v poloze G. Trvalo tak dlouho jako délka úseku AG. Pokud jako dříve vezmeme jako časovou jednotku čas, za který Měsíc projde „jeden čtverec“, pak se délka AG rovná. Pokud bychom se vrátili ke staré konvenci, že naše nebeská tělesa jsou 4x4, výsledek by byl jiný (co?). Jak lze snadno ukázat, cíl se zavírá po t < 15. Graf funkce „procento pokrytí obrazovky“ je vidět na obr. 6.

Rýže. 6 Graf funkce "procentuální ochrany".

Rovnice zatmění a skoku

Rýže. 7 Překážka slunečního disku při zatmění zobrazeném na Obr. 6

Problém zatmění by byl neúplný, kdybychom neuvažovali případ kruhů. To je mnohem složitější, ale zkusme přijít na to, kdy jeden kruh zastíní polovinu druhého - a v nejjednodušším případě, když se jeden z nich pohybuje po průměru, který je oba spojuje. Kresbu znají držitelé některých kreditních karet.

Výpočet polohy polí je komplikovaný, protože vyžaduje za prvé znalost vzorce pro oblast kruhového segmentu, za druhé znalost oblouku úhlu a za třetí (a nejhorší ze všeho) schopnost vyřešit určitou skokovou rovnici. Nebudu vysvětlovat, co je to „tranzitivní rovnice“, podívejme se na příklad (obr. 8).

Rýže. 8 "Sférické" zatmění

Kruhová část je „pohár“, který zůstane po vyříznutí kruhu přímkou. Plocha takového segmentu je S = 1/2r²(φ-sinφ), kde r je poloměr kružnice a φ je středový úhel, na kterém segment spočívá (obr. 8). To lze snadno získat odečtením plochy trojúhelníku od plochy kruhového sektoru.

Epizoda O₁O₂ (vzdálenost mezi středy kruhů) je pak rovna 2rcosφ/2 a výška (šířka, „pas“) h = 2rsinφ/2. Pokud tedy chceme spočítat, kdy Měsíc zakryje polovinu slunečního disku, musíme vyřešit rovnici: která po zjednodušení vznikne:

Rýže. 9 Grafy dvou funkcí

Řešení takových rovnic přesahuje rámec jednoduché algebry – rovnice obsahuje oba úhly a jejich goniometrické funkce. Rovnice je mimo dosah tradičních metod. Proto se tomu říká skočit. Podívejme se nejprve na grafy obou funkcí, tedy funkcí a funkcí, z tohoto obrázku můžeme vyčíst přibližné řešení. Můžeme však získat iterativní aproximaci nebo… použít možnost Řešitel v tabulce Excel. Tohle by měl umět každý středoškolák, protože je 20. století. Použil jsem sofistikovanější nástroj Mathematica a zde je naše řešení s XNUMX desetinnými místy zbytečné přesnosti:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Rýže. 10 Animace zatmění v matematice

Tu převedeme na stupně vynásobením 180/π. Dostaneme 132 stupňů, 20 minut, 45 a čtvrt obloukové vteřiny. Vypočítáme, že vzdálenost ke středu kruhu je O₁O₂ = 0,808 poloměr a "pas" 2,310.