Cesta do neskutečného světa matematiky

Tento článek jsem napsal v jednom z prostředí po přednášce a praxi na vysoké škole informatiky. Ohrazuji se proti kritice studentů této školy, jejich znalostí, přístupu k vědě a hlavně pedagogických dovedností. Tohle... je nikdo neučí.

Proč jsem tak defenzivní? Z prostého důvodu – jsem ve věku, kdy pravděpodobně svět kolem nás ještě není pochopen. Možná je učím zapřáhnout a odstrojit koně, a ne řídit auto? Možná je naučím psát brkem? I když mám o člověku lepší mínění, považuji se za „následujícího“, ale…

Ještě nedávno se na střední škole mluvilo o komplexních číslech. A právě tuto středu jsem přišel domů, skončil jsem - téměř nikdo ze studentů se ještě nenaučil, co to je a jak tato čísla používat. Někteří koukají na veškerou matematiku jako husa na pomalované dveře. Ale byl jsem také upřímně překvapen, když mi řekli, jak se učit. Zjednodušeně řečeno, každá hodina přednášky jsou dvě hodiny domácího úkolu: čtení učebnice, učení se, jak řešit problémy na dané téma atd. Takto připraveni se dostáváme ke cvičením, kde vše zdokonalujeme... Příjemně si studenti zřejmě mysleli, že sezení na přednášce - nejčastěji koukání z okna - už zaručuje zápis znalostí do hlavy.

Stop! Dost toho. Popíšu svou odpověď na otázku, kterou jsem dostal na hodině s kolegy z Národního dětského fondu, instituce, která podporuje talentované děti z celé republiky. Otázka (nebo spíše návrh) zněla:

— Mohl byste nám říci něco o neskutečných číslech?

"Samozřejmě," odpověděl jsem. 

Realita čísel

"Přítel je jiné já, přátelství je poměr čísel 220 a 284," řekl Pythagoras. Jde o to, že součet dělitelů čísla 220 je 284 a součet dělitelů čísla 284 je 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220 XNUMX

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Další zajímavá shoda mezi čísly 220 a 284 je tato: sedmnáct nejvyšších prvočísel je 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , a 59.

Jejich součet je 2x220 a součet čtverců je 59x284.

První. Neexistuje žádný koncept „skutečného čísla“. Je to, jako když se po přečtení článku o slonech zeptáte: "Teď se budeme ptát na neslony." Existují celé a necelé, racionální a iracionální, ale neexistují žádné nereálné. Konkrétně: čísla, která nejsou skutečná, se neoznačují jako neplatná. V matematice existuje mnoho druhů „čísel“ a liší se od sebe, jako – v zoologickém srovnání – slon a žížala.

Zadruhé provedeme operace, o kterých už možná víte, že jsou zakázané: extrahování odmocnin záporných čísel. Matematika takové bariéry překoná. Dává to ale smysl? V matematice, stejně jako v jakékoli jiné vědě, to, zda teorie navždy vstoupí do úložiště znalostí, závisí ... na její aplikaci. Pokud je k ničemu, tak skončí v koši, potažmo v nějakém smetí dějin vědění. Bez čísel, o kterých mluvím na konci tohoto článku, není možné rozvíjet matematiku. Začněme ale drobnostmi. Co jsou skutečná čísla, víte. Hustě a bez mezer vyplňují číselnou řadu. Také víte, co jsou přirozená čísla: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - všechna se do nich nevejdou paměť i největší. Mají také krásné jméno: přírodní. Mají tolik zajímavých vlastností. Jak se vám líbí toto:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

„Je přirozené zajímat se o přirozená čísla,“ řekl Karl Lindenholm a Leopold Kronecker (1823–1891) to vyjádřil stručně: „Bůh stvořil přirozená čísla – vše ostatní je dílem člověka! Zlomky (matematici nazývané racionálními čísly) mají také úžasné vlastnosti:

a v rovnosti:

můžete, počínaje levou stranou, třít plusy a nahradit je násobilkami - a rovnost zůstane pravdivá:

A tak dále.

Jak víte, pro zlomky a/b, kde a a b jsou celá čísla a b ≠ 0, říkají racionální číslo. Ale říkají si tak jen polsky. Mluví anglicky, francouzsky, německy a rusky. racionální číslo. V angličtině: racionální čísla. Iracionální čísla je to iracionální, iracionální. Mluvíme také polsky o iracionálních teoriích, představách a činech – to je šílenství, imaginární, nevysvětlitelné. Říká se, že ženy se bojí myší – není to tak iracionální?

V dávných dobách měla čísla duši. Každá něco znamenala, každá něco symbolizovala, každá odrážela částečku oné harmonie Vesmíru, tedy v řečtině Kosmu. Samotné slovo „kosmos“ znamená přesně „řád, řád“. Nejdůležitější byly šestka (dokonalé číslo) a desítka, součet po sobě jdoucích čísel 1+2+3+4, složený z dalších čísel, jejichž symbolika se zachovala dodnes. Pythagoras tedy učil, že čísla jsou počátkem a zdrojem všeho a pouze objevem iracionální čísla obrátil pythagorejské hnutí ke geometrii. Úvahu známe ze školy

√2 je iracionální číslo

Předpokládejme, že existuje: a že tento zlomek nelze zmenšit. Zejména p a q jsou liché. Umocněme: 2q²=p². Číslo p nemůže být liché, od té doby p² by také bylo a levá strana rovnosti je násobkem 2. P je tedy sudé, tj. p = 2r, tedy p²= 4r². Zmenšíme rovnici 2q²= 4r² o 2. Dostaneme q²= 2r² a vidíme, že q musí být také sudé, což jsme předpokládali, že tomu tak není. Výsledný rozpor dokončí důkaz - tento vzorec lze často najít v každé matematické knize. Tento nepřímý důkaz je oblíbeným trikem sofistů.

Tuto nesmírnost nemohli Pythagorejci pochopit. Vše se musí dát popsat čísly a úhlopříčka čtverce, kterou může kdokoliv nakreslit klackem po písku, nemá žádnou, tedy měřitelnou délku. Zdá se, že Pythagorejci říkají: „Naše víra byla marná. Jak to? Je to tak trochu... iracionální. Unie se snažila zachránit sektářskými metodami. Každý, kdo se odváží odhalit svou existenci iracionální čísla, měl být potrestán smrtí a první rozsudek zřejmě vykonal sám mistr.

Ale "myšlenka prošla bez úhony." Nastal zlatý věk. Řekové porazili Peršany (Maraton 490, Blok 479). Posílila se demokracie, vznikla nová centra filozofického myšlení a nové školy. Pythagorejci se stále potýkali s iracionálními čísly. Někteří kázali: nepochopíme toto tajemství; můžeme jen uvažovat a žasnout nad Uncharted. Ti poslední byli pragmatičtější a nerespektovali Záhadu. V té době se objevily dvě mentální konstrukce, které umožnily pochopit iracionální čísla. To, že jim dnes dostatečně rozumíme, patří Eudoxovi (XNUMX. století př. n. l.) a teprve koncem XNUMX. století německý matematik Richard Dedekind dal teorii Eudoxu správný vývoj v souladu s požadavky rigorózní matematická logika.

Mše postav nebo mučení

Dokázali byste žít bez čísel? I kdyby, jaký by byl život... Museli bychom si jít do obchodu koupit boty s klackem, kterému jsme předtím změřili délku chodidla. "Chtěl bych jablka, ach, tady to je!" – ukázali bychom prodejcům na trhu. „Jak daleko je to z Modlin do Nowy Dwur Mazowiecki“? "Dost blízko!"

K měření se používají čísla. S jejich pomocí vyjadřujeme i mnoho dalších pojmů. Například měřítko mapy ukazuje, jak moc se plocha země zmenšila. Stupnice dva ku jedné, nebo jednoduše 2, vyjadřuje skutečnost, že se něco zdvojnásobilo. Řekněme matematicky: každé homogenitě odpovídá číslo – jeho měřítko.

Úkol. Vytvořili jsme xerografickou kopii, obraz jsme několikrát zvětšili. Poté byl zvětšený fragment znovu zvětšen bkrát. Jaká je obecná stupnice zvětšení? Odpověď: a × b násobeno b. Tyto šupiny je potřeba znásobit. Číslo "mínus jedna", -1, odpovídá jedné přesnosti, která je vystředěná, tj. otočená o 180 stupňů. Jaké číslo odpovídá otočení o 90 stupňů? Takové číslo neexistuje. Je, je... nebo spíše brzy bude. Jste připraveni na morální mučení? Seberte odvahu a vezměte druhou odmocninu z mínus jedna. Poslouchám? Co nemůžeš? Koneckonců jsem ti řekl, abys byl statečný. Vytáhni to! Hele, no, tahej, tahej... Pomůžu... Tady: -1 Teď, když to máme, zkusme to použít... Samozřejmě, teď můžeme extrahovat kořeny všech záporných čísel, např. příklad.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Bez ohledu na duševní muka, kterou to obnáší." Toto napsal Girolamo Cardano v roce 1539 ve snaze překonat duševní potíže spojené s - jak se brzy začalo říkat - imaginární veličiny. Zvažoval tyto...

...Úkol. Rozdělte 10 na dvě části, jejichž součin je 40. Pamatuji si, že z předchozího dílu napsal asi toto: Jistě nemožné. Udělejme však toto: rozdělte 10 na dvě stejné části, každou rovnou 5. Vynásobte je – vyšlo 25. Od výsledných 25 nyní odečtěte 40, chcete-li, a dostanete -15. Nyní se podívejte: √-15 sečteno a odečteno od 5 vám dá součin 40. Toto jsou čísla 5-√-15 a 5 + √-15. Ověření výsledku provedl Cardano takto:

„Bez ohledu na bolest, kterou to přináší, vynásobte 5 + √-15 5-√-15. Dostaneme 25 - (-15), což se rovná 25 + 15. Součin je tedy 40 .... Je to opravdu těžké."

Kolik je: (1 + √-1) (1-√-1)? Pojďme se množit. Pamatujte, že √-1 × √-1 = -1. Skvělý. Nyní složitější úkol: z a + b√-1 do ab√-1. Co se stalo? Určitě takto: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

co je na tom zajímavého? Například to, že můžeme faktorizovat výrazy, které jsme „dříve neznali“. Zkrácený vzorec násobení pro²-b² Pamatujete si vzorec pro²+b² nebylo, protože nemohlo být. V oboru reálných čísel polynom²+b² je to nevyhnutelné. Označme "naši" druhou odmocninu z "minus jedna" písmenem i.²= -1. Je to "neskutečné" prvočíslo. A to je to, co popisuje otočení letadla o 90 stupňů. Proč? Po všem,²= -1 a zkombinováním jednoho otočení o 90 stupňů a dalšího otočení o 180 stupňů získáte otočení o 45 stupňů. Jaký typ rotace je popsán? Pochopitelně obrat o XNUMX stupňů. Co znamená to -i? Je to trochu složitější:

(-já)² = -i x (-i) = +i² = -1

Takže -i také popisuje rotaci o 90 stupňů, právě v opačném směru rotace i. Která je levá a která pravá? Musíte si domluvit schůzku. Předpokládáme, že číslo i udává rotaci ve směru, který matematici považují za kladný: proti směru hodinových ručiček. Číslo -i popisuje rotaci ve směru pohybu ukazatelů.

Ale existují čísla jako i a -i? jsou! Právě jsme je přivedli k životu. Poslouchám? Že existují pouze v naší hlavě? No co čekat? Všechna ostatní čísla také existují pouze v naší mysli. Musíme zjistit, jestli počet našich novorozenců přežije. Přesněji, zda je design logický a zda se budou k něčemu hodit. Prosím, dejte mi za slovo, že je vše v pořádku a že tato nová čísla jsou opravdu užitečná. Čísla jako 3+i, 5-7i, obecněji: a+bi se nazývají komplexní čísla. Ukázal jsem vám, jak je můžete získat roztočením letadla. Mohou být zadány různými způsoby: jako body roviny, jako některé polynomy, jako nějaká číselná pole ... a pokaždé jsou stejné: rovnice x² +1=0 není tam žádný prvek... hokus pokus už tam je!!!! Radujme se a radujme se!!!

Konec prohlídky

Tímto končíme naše první turné po zemi falešných čísel. Z dalších nadpozemských čísel zmíním i ta, která mají nekonečně mnoho číslic vpředu, nikoli vzadu (říká se jim 10-adic, pro nás jsou důležitější p-adic, kde p je prvočíslo), např. příklad X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Počítejme prosím X². Protože? Co když vypočítáme druhou mocninu čísla následovaného nekonečným počtem číslic? No, udělejme to samé. Víme, že x² = X.

Najdeme další takové číslo s nekonečným počtem číslic vpředu, které odpovídá rovnici. Nápověda: druhá mocnina čísla končícího na šest také končí na šest. Druhá mocnina čísla, které končí 76, také končí 76. Druhá mocnina čísla, které končí 376, končí také 376. Druhá mocnina čísla, které končí 9376, končí také 9376. Druhá mocnina čísla končícího čísly XNUMX na… Existují také čísla, která jsou tak malá, že jsou-li kladná, zůstávají menší než jakékoli jiné kladné číslo. Jsou tak malinké, že je někdy stačí umocnit na nulu. Existují čísla, která nesplňují podmínku a × b = b × a. Existují také nekonečná čísla. Kolik přirozených čísel existuje? Nekonečně mnoho? Ano, ale kolik? Jak to lze vyjádřit číslem? Odpověď: nejmenší z nekonečných čísel; je označena krásným písmenem: A a doplněna nulovým indexem A₀ , aleph-nula.

Existují také čísla, o kterých nevíme, že existují... nebo kterým můžete věřit nebo nevěřit, jak chcete. A když už jsme u toho: Doufám, že se vám pořád líbí Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.