Jak klamat, manipulovat a prezentovat se v příznivém světle ve velikosti matematiky?

Začátkem listopadu 2020 Mateusz Morawiecki odkázal matematikům z Centra pro matematické modelování, že prokázali, že stávka žen způsobila nárůst infekcí o 5000 XNUMX. V tomto centru mám přátele – dozvěděli se, že to předpověděli až od řeč pana - Mateuszovi.

Rád bych zdůraznil, že snad v rozporu s názvem článku nebudu současného premiéra ani chválit, ani kritizovat. Myslím, že matematika není jeho silnou stránkou, ale takový intelektuální nedostatek u většiny z vás nevyvolá námitky. A obecně, nebyl by velký matematik v zodpovědném postavení, ale nebyl by moudrý v životě a politice? Zmíním také, že Donald Tusk ve své bývalé prezidentské kampani řekl (jakoby žertem): „nelze psát zkoušky z matematiky bez stahování. Víš, matematický mrak je tvůj muž, stejně jako já. Julian Tuwim byl snobský ohledně své neznalosti matematiky. A zavolali mě do představenstva. Jen poznamenám, že v Polsku jsme měli premiéru v matematice. Byl to (pětkrát) Kazimierz Bartel, 1882-1941, rektor Lvovské polytechniky, vynikající geometr. Nemohu a ani se nepokouším soudit jeho vládu.

Vytírání úst je všestranné a staré. Byly o tom napsány knihy, tenké i tlusté. Způsobů je mnoho, o některých budu mluvit, začnu těmi, které jsou šité tlustými nitěmi. Možná, že v minulosti bylo takových metod ještě více, protože v monumentálním a prvním svého druhu Slovníku polského jazyka Samuel Bogumil Linde (vydáno v letech 1807-1814) čteme:

Matematik, matematický matematik, matematický žonglér.

Neznáme nejjednodušší akce a opravdu se chceme dokázat. Před několika lety napsal novinář z Olsztyna dlouhý výklad o tom, jak nás výrobci klamou. Například: na balení másla je napsáno „obsah tuku 85 procent“ – je to 85 procent v kostce nebo v kilogramu? Celé Polsko štěbetalo. Ale jen chytří učitelé matematiky (tedy všichni učitelé matematiky!) si před mnoha lety všimli chyby v úvahách jednoho z našich bývalých premiérů Kazimíra Martsinkeviče. Trochu pozměním čísla, aby bylo lépe vidět. Řekl asi toto: utratili jsme 150 milionů zlotých na stavbu silnic a 50 milionů jsme dostali z Bruselu, takže utratíme jen 100. Ušetřili jsme 50 procent. No, 50/100 je 50 procent. kde je chyba? A kdybychom měli 100 milionů, kolik bychom ušetřili? Chyba je nenápadná. Když už jsme u procent, je důležité si ujasnit, odkud je získáváme. To je velmi častá chyba učitelů. Říká se, že procento je jedna setina. To se nesmí! Stoprocentně, ale vždycky je to něco. Pokud utratíme 150 a utratíme 100, ušetříme 50 ze 150, což je 33 %. Premiér Martsinkevič byl učitelem fyziky. Buď byl tak špatný učitel, že procentům nerozuměl, nebo s nimi záměrně manipuloval, aby měl co nejlepší politický efekt. Vlastně bych preferoval to druhé. Dovolte mi, abych vám připomněl velmi starou, předválečnou anekdotu. "Tati, dnes jsem ušetřila 20 centů!" „To je moc dobré, synku! Jak? "Nejezdil jsem tramvají do školy, běžel jsem za ní!" "Ach, synu, běž podruhé pro taxi - ušetříš 5 zlotých!"

Nápady, nápady! Většina myšlenek tzv. kreativního účetnictví vychází z právních kliček (zákon psaný na koleni = kravina) a vymyká se představě průměru. Zde je příklad: jak lze zvýšit mzdu všem a zároveň snížit průměrnou mzdu? Jednoduché: poskytněte malé zvýšení platu těm, kteří již pracují, a přitom najměte spoustu nedostatečně placených lidí. Průměr klesne... a v kontextu globálního mzdového nákladu to nepřicházelo v úvahu. Údajně se tak choval až do roku 1989 jistý ředitel státního podniku.

Můžete bojovat přímo s využitím matematické negramotnosti mnoha kruhů společnosti a kombinací matematiky (??) s literaturou (??). Zde je demagogický, ale smyšlený text (byť založený na skutečné publikaci, před rokem 2010 pro pozornost).

Sestry na tom budou lépe. Před dvěma lety byla průměrná čistá mzda zdravotní sestry v okrese Sochaczew 1500 XNUMX PLN. Vláda loni zvýšila výdaje na zdravotnictví o půl miliardy zlotých. To bude dvakrát více než v předchozích letech. Hermenegilda Kotsjubinskaya, sestra z Ústřední klinické nemocnice, říká: minulý měsíc byl můj plat 4500 XNUMX PLN. To znamená obrovský, trojnásobný nárůst příjmů ve zdravotnictví.

Je tu někdo, koho oklamat? I když jsou čísla stejná, můžete zde vidět, co porovnáváme. průměrná mzda v zemské nemocnici s platem jedné osoby v daném měsíci. Možná je Hermenegilda šéfkou sester, možná měla tento měsíc hodně směn navíc a kromě toho má CRH speciální platovou tabulku? Navíc zmíněných 1500 500 500 PLN je čistá mzda a není upřesněno, zda je mzda paní Kociubinské čistá nebo hrubá. Půl miliardy je pro jednotlivce obrovská částka, ale co to znamená na národní úrovni? Hned si všimneme, že „půl miliardy“ zní jako lepší propaganda než „500 milionů“. Na co šlo XNUMX milionů zlotých, se neuvádí. Není známo, proč XNUMX milionů zł dvakrát tolik.

Jak mohu zlepšit své studijní výsledky? Škola X je kritizována školskými úřady za špatné vzdělávací výsledky (tj. nízké GPA, i když jde o různé věci!). Ředitel našel způsob, jak věci trochu zlepšit. Převede několik žáků ze třídy A do třídy B a dosáhne svého: průměrné skóre v obou třídách se zvýšilo.

Jak je tohle možné? Pokud je ve třídě A žák, jehož GPA je nižší než průměr ve třídě A, ale vyšší než průměr ve třídě C, pak jeho přesun do třídy B bude mít stejný účinek. Víra je založena na tomto účinku Mechislav Mor i Leshek Mazan, autoři „Galician Encyclopedia“ (nakladatelství „Anabasis“, Krakov), že v den, kdy se Sigismund III. Vasa a jeho dvůr přestěhovali do Varšavy, průměrná úroveň inteligence vzrostla v obou těchto městech.

Máme tendenci data interpretovat. Toto je nejběžnější neelementární protažení. Začnu tím nejhloupějším, ale spolehlivým příkladem. Před mnoha a mnoha lety dnes již neexistující Express Wieczorny hlásil, že průměrný plat na Varšavské univerzitě bude 15000 24 6 złoty (tehdy złoty). Nejvyšší plat měl pobírat rektor, 15, nejnižší začínající asistent XNUMX. Průměr XNUMX!!! manipulace pojem průměru je námětem k habilitaci.

Zde jsou další dva příklady. Víte, že průměrný člověk v Polsku má méně než dvě nohy? No ano: jsou tací, kteří mají jeden, ale nikdo nemá tři! Druhý příklad je jemnější. No, moje žena a já máme vlastní auta. Můj nosič spotřebuje hodně paliva, 12,5 litru na 100 km. To znamená, že na 100 km potřebuji 8 litrů. Manželka má maličké Mitsubishi - spotřebuje 8 litrů na 100 km. To je také hodně, ale aby byly výpočty jednoduché, je potřeba data trochu zpracovat. Často jezdíme na stejném. Průměrná spotřeba paliva našich dvou vozů je tedy aritmetický průměr 8 a 12,5. Sečtěte, vydělte 2. Ukáže se 10,25 litru. Samozřejmě je důležité, že často jezdíme stejně. Kde je tedy prostor pro manipulaci?

Oh, tady. Věděli jste, že spotřeba paliva v USA se počítá jinak? Odpoví: "Najezdím tolik mil z jednoho galonu." Nechme přepočet galonů na litry a míle na kilometry, ale aplikujme to na výše zmíněná auta: moje a Our Marriage's Sole Review Board. Já ujedu jen 8 km na litr (100 děleno 12,5), manželka 12,5 km (100 děleno 8). V průměru nám jeden litr zabere ... aritmetický průměr těchto čísel. Už jsme to jednou počítali. Vychází to 10 a čtvrt – tentokrát 10,25 kilometru.

Vraťme se k evropským standardům. Když najedem 10,25 km na jeden litr, kolik litrů potřebujete na 100? Vezměme si kalkulačku: 100 děleno 10,25 je ... 9,76. Průměrná spotřeba našich aut je 9,76 ... a předtím to bylo 10,25. kde je chyba? Ne! Vlastně ne v matematice, ale ve výkladu slov „cestujeme stejně často“. Pečlivá analýza ukáže, že v první interpretaci to znamená „najezdíme stejný počet kilometrů za měsíc“ a ve druhé „spotřebujeme stejné množství benzínu“. Dalo by se přidat třetí proměnnou: stejně dlouho trávíme řízením (manželka jezdí mnohem rychleji)… a bylo by to jiné. Pokud něco měříme, musíme mít měřicí pásku.

jemnější situace. Simpsonův paradox. Zkoumáme, co je lepší k odstranění lupů: Coca-Cola nebo Pepsi-Cola. Testujeme na ženách a mužích. Zde jsou data. Téměř všechny výpočty lze provádět v paměti.

Prosím, čtenáři, posaďte se. Jen abych nevypadl z pocitu. Jaký je nejlepší nápoj k odstranění lupů u mužů? Větší čísla jsem označil červeně a menší modře. 25 je víc než 20, že? Pánové: kupte si kolu na lupy! a co ženy? Pravděpodobně naopak? Ne, 60> 53. Dámy, dejte si kolu.

Společnost nakupuje reklamy v televizi, kde se šťastný pár (po staru: muž a žena) tohoto lehkého neduhu zbavuje pomocí Coca-Coly. Ale je tu reklama na Pepsi. No, protože na testu bylo 250 lidí tady i tady, což znamená, že byli rovnoměrně rozděleni. Coca-Cola pomohla 80 lidem (32 %), Pepsi 100 lidem, 40 %. Na obrazovce se dav zbavuje lupů, zatímco se před kamerou kutálí plechovka Pepsi. "Naše generace si již vybrala!"

kde je chyba? Ne. Myslím, že matematika je v pořádku. Nebo spíš jen aritmetický. Abychom byli matematicky správně, musíme odebrat srovnatelné vzorky se stejným podílem M jako K. Jinak výpočty nedávají smysl, jako bychom počítali průměrnou hmotnost komára a slona. Můžeme sčítat a dělit dvěma. Co jsme vypočítali? No, průměrná váha komára a slona. co nám to dá? Vlákno.

Ale vezměme to do politiky, samozřejmě do USA. Příznivci jednoho z kandidátů, řekněme Bump, by zaplakali: jsme lepší pro dámy i pro pány. Hlasujte pro Jozefa Podskoka! Příznivci Tridenu by na transparenty napsali: Jsme nejlepší na světě. Hlasujte kachna se 3 doupaty (Donald).

Dobře, jak to doopravdy je? To je ta nejtěžší část. Co znamená "opravdu"? Můžeme říci: "Pravda je to, co souhlasí s realitou." Nabízí se však další otázka: jak měřit „soulad s realitou“? Ale to už není matematika a toho bych se rád držel, protože jedině tady se cítím sebevědomě.

O tomto paradoxu (tzv Paradox Simpsonů) vychází z mnoha a mnoha dalších. V matematice je známý už sto let, ale (relativně) v poslední době se o něj začaly zajímat společenské vědy. Vše začalo tím, že na jedné z amerických univerzit si rektor všiml, že dívky jsou přijímány mnohem méně než chlapci. Vyžádala si zprávy od děkanů... a ukázalo se, že na každé fakultě byl poměr přijatých ke uchazečům vyšší u dívek než u chlapců – a právě naopak. Doporučuji čtenáři přetavit příklad Pepsi a Coca-Coly na situaci univerzitních kateder.

Ještě jemnější situace. Každý v matematickém světě zná „příklad z Nebrasky“. Někde v Nebrasce byl vypleněn obchod a vyloupena pokladna. Pamětníci si jen vzpomněli, že to dělal podivný pár: snědý muž s plnovousem a žena s orientálními rysy. Odjeli (pneumatiky skřípěly jako ve filmu) ve žluté toyotě. O pár hodin později policie zadržela ... žlutou Toyotu, ve které byl Afroameričan s plnovousem v doprovodu Asiatky. "To jsi ty!". Pouta, soud. Zkušený matematik spočítal, že taková souprava (Černoch + Asiat + žlutá Toyota) je natolik unikátní, že se hledá 99,999 % lupičů. V sále házel naučené pojmy: elementární děje, Bernoulliho diagram, konjunkce. Pár si šel sednout. Najali však nejlepšího matematika, který ve výzvě řekl: „Dobře. Posuďte sami, můj předchůdce spočítal, že pravděpodobnost, že náhodně naražené auto se dvěma pasažéry bude žlutá Toyota s černým a Japonkou je taková a taková. Zde ale musíme vyřešit další problém, podmíněnou pravděpodobnost. Jaká je pravděpodobnost setkání s dalším párem (nebo třemi, pokud stroj zapnete), pokud víme, že takový již existuje. »

Jestli soudce některý z argumentů pochopil, nevíme. Snad jen, že odpověď závisí na volbě situace. To bylo dost. Trest zrušil.

Rána tyčí do hlavy. Vždy jsme se k takové demagogii chovali (1).

Bary jsou hrozné: ceny uhlí se zdvojnásobily. Pohled na čísla je uklidňující: skutečně vzrostly ze 161 PLN za tunu na 169 PLN (cvičení: o jaké procento?). Ale protože se většina lidí učí vizuálně, zapamatují si graf, nikoli čísla. Aniž bych šel do politických diskusí, musím říci, že podobnou metodu použila i vláda (ta z léta 2020) a představovala si zvýšení výdajů na rakovinu. To není kritika této vlády. Další bude také používat tuto metodu. Je bezpečný a má okamžitý účinek ("viděn").

Nosme masky. Zákonitosti šíření epidemií jsou jednoduché a „samo o sobě“ neúprosné. Počet nakažených roste rychleji, čím víc jich už je. Takhle jde lavina. To říká matematika. Je tu však jedno velké „ale“ – možná více než jedno. Za prvé, je to tak, zatímco "nic se neděje". Když se zastaví lavina v lese, když se epidemie zpomalí moudrým chováním nás všech, pak nebudeme ani tak „děkovat“ matematice, jako vytvořit jiný model. Ano, jiný matematický model (jako v příkladu loupeže obchodu v Nebrasce). Matematika, krásná věda, jen pomáhá pochopit svět. Tolik, ale jen tolik. Podívejme se: s tyčí skočíme skoro šest metrů, bez ní neskočíme ani 2,50. Pak vezměte tyč do ruky a skočte. Je to sakra otrava, co?

použití matematika ve společenských vědách je to obtížné, nebezpečné a co je horší, lákavé. Znalci Tater si to spojují s roklí Drege: mírný, travnatý sjezd z Granátů do Chyorného Stavu... Tak to vypadá shora. Brzy se rokle promění v past, ze které nás může zachránit pouze TOPR, Tatranská dobrovolná záchranná služba.

Matematici nazývají tento nárůst lavin a epidemií exponenciální růst. Jak jsem již psala, tento růst lze potlačit, ale ne znovu. Podívejme se však na dva grafy stejné křivky (jen v jiném měřítku). Kdo pochopí, dávám vzorec této funkce: y = 2^xdva k moci. Podívejte se prosím na grafy. Od kterého bodu dochází k prudkému zrychlení růstu? Každý naznačí: je víceméně blízko bodu označeného velkou tečkou. Ale na prvním grafu se tato hodnota blíží 1,5, na druhém je více než 3 a na třetím je 4,5. Pokud jsou tehdy nějaké pouliční demonstrace, pak můžeme říci: prosím, od okamžiku demonstrace šla křivka nahoru, prudce nahoru. Ve slávě matematiky! A to je jen vlastnost exponenciální křivky. Odpovídající měřítko a bod, od kterého začíná rychlé zrychlení, lze libovolně zvolit (2).

Prezidentské volby... v USA, samozřejmě. Stále si pamatujeme frašku z listopadu 2020. Země, která je stále velmocí č. 1, se s počtem stran nevyrovnala. Nakonec se to ukázalo Joe Biden nejenže získal více volebních hlasů, ale vyhrál by, kdyby rozhodnutí bylo přijato prostou většinou. V situaci, kterou popíšu, se nejedná o žádnou matematickou manipulaci – pouze o ukázku toho, jak může výsledek voleb záviset na přijatém usnesení. Pokud víte, je těžké protestovat. Obránce ve fotbale může považovat zákaz házené za nesprávný, ale pokud bude ignorován, bude udělen trest.

Představte si, že o předsednictví Řecka kandidují: Apollo, Euclid, Heron, Pythagoras i Takový. Koho voliči zvolí, stane se prezidentem. Je jich 100. Byli zvoleni lidovým hlasováním a poté si strany zastoupené v parlamentu, tedy Circus Maximus, stanovily pořadí svých preferencí. Něco je špatně, protože Circus Maximus je latinský název, nikoli řecký. Ale nehádejme se se zdroji.

Kdo se stane prezidentem? Podívejme se, jak to závisí na svěcení. Preference strany je třeba chápat tak, že její voliči po příštím kole volí prvního z kandidátky zbývající ve volbách.

Pokud rozsudek stanoví, že vyhraje kandidát, který umístí nejvíce voličů na první místo, vyhraje Pythagoras, protože jej bude volit 25 + 9 = 34 voličů. To se ve škole děje, když vybíráme třeba nejlepšího žáka. u nás: Pythagoras je volen lidmi!
V moderních prezidentských volbách se nejčastěji používá systém druhého kola. Hlasujeme pro jednoho kandidáta, ale pokud žádný z nich nepřesáhne 50 procent, koná se druhé kolo. Vyhrává ten, kdo získá nadpoloviční většinu hlasů, tedy prostě více hlasů než jeho protikandidát. V tomto scénáři půjdou do druhého kola Pythagoras (34 hlasů) a Thales (20). Ve druhém kole si voliči rozdělují hlasy podle svých preferencí. Všichni kromě Pythagorejců dávají přednost Thalesovi před Pythagorem. To je běžná situace, kdy má strana tvrdý voličský základ a obklopuje ji všeobecná nevůle. V prodloužení tedy Pythagoras nezíská ani jeden hlas. Výsledek 66:34 ve prospěch Thalese a rozhodující vítězství. Podobná situace nastala v roce 2001 na Slovensku, kde kandidát, který jasně vyhrál první kolo, prohrál ve druhém. Podobně tomu bylo i v prezidentských volbách v Polsku v roce 2005: lídr byl poražen ve druhém po prvním kole. Ať žijí prezidentské pohádky!
V cyklistice se používá tzv. australský systém. Po každém kole trati je vyřazen poslední. Tato verze volebního zákona se nazývá „volba ředitelů“. V rámci tohoto systému byl zvolen první prezident nezávislého Polska Gabriel Narutowicz. Jak by to vypadalo v našem Řecku?

Věc je složitější. Prosím sledujte. V prvním kole Euclid dostal nejméně hlasů a vypadl (jaká škoda, tak dobrý matematik!). Strana pak ve druhém kole hlasuje pro druhého na svém seznamu: Tsaplyu. Volavka má ve druhém kole 19 + 10 = 29 hlasů. Apollonius je vyloučen (17 hlasů). Party a pak hlasujte pro Heron. Ve třetím kole má Pythagoras (pevný voličský sbor) 34 hlasů, Thales 20 a Volavka 29 + 17 = 46 hlasů. Příběhy jsou venku. Falešané (strana B) nemají rádi ani Pythagorejce – dávají přednost heroldům. Ostatní také, kromě stabilních stran A a E. V závěrečném tahu Heron snadno poráží Pythagora 66:34. Vivat prezident Heron!

4. Na Eurovision Song Contest bylo uděleno 12 bodů za první místo v seznamu, 10 za druhé místo, 9 za třetí atd. Předpokládejme přibližně stejné skóre 6-4-3-2-1. Body se tedy udělovaly ve třech atletických zápasech (tři týmy, dva hráči v každé soutěži, v roce 1958 Polsko vyhrálo proti USA a Velké Británii!). Naše výsledky budou následující:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Řekové, tady je váš prezident Euclid!

5. Čtenáři hádají, že nám stačí spočítat hlasy, aby se ukázalo, že Apollonius je nejlepší. Apollonius je skutečně nejlepší – protože je nejlepší. Všichni prohráli s Apolloniem! Proč?

Pro kolik voličů umístilo Apollonia nad Volavku? Počítejme: 25+17+9=51 znamená většinu. Ne moc, ale stejně.

Jak daleko je Apollonius před Euklidem? 20 + 19 + 17 = 56, většina z nich.

Kolik lidí dává přednost Apolloniovi před Thalesem: 19+17+10+9=55>50.

A konečně Apollonius z Pythagoras preferuje 20 + 19 + 17 + 10 = 66 voličů ze 100.

Od té doby - řecký lid, schopný logicky uvažovat - od té doby dává Apollonius ze všeho nejvíc přednost jakémukoli jinému kandidátovi; vždyť je to on, kdo by nám měl vládnout další volební období! Pojď blíž, Apollonie, náš nově zvolený prezident! Budeš naše 44.