Geometrické cesty a houštiny
Při psaní tohoto článku jsem si vzpomněl na velmi starou píseň Jana Pietrzaka, kterou zpíval před svou satirickou činností v kabaretu Pod Egidą, uznávaném v Polské lidové republice jako pojistný ventil; člověk by se mohl upřímně zasmát paradoxům systému. Autor v této písni doporučoval socialistickou politickou participaci, zesměšňování těch, kteří chtějí být apolitičtí a vypínání rádia v novinách. "Je lepší vrátit se do školy čtení," zpíval ironicky tehdy XNUMXletý Petshak.
Vracím se ke čtení do školy. Znovu čtu (ne poprvé) knihu Ščepana Jelenského (1881-1949) „Lylavati“. Málokterému čtenáři něco říká samo slovo. Toto je jméno dcery slavného hinduistického matematika známého jako Bhaskara (1114-1185), jménem Akaria, neboli mudrce, který tímto jménem nazval svou knihu o algebře. Lilavati se později sama stala uznávanou matematičkou a filozofkou. Podle jiných zdrojů to byla ona, kdo knihu sám napsal.
Szczepan Yelensky dal stejný název své knize o matematice (první vydání, 1926). Dokonce může být obtížné nazvat tuto knihu matematickým dílem - byla to spíše sada hádanek a z velké části přepsaná z francouzských zdrojů (autorská práva v moderním slova smyslu neexistovala). V každém případě to byla dlouhá léta jediná populární polská kniha o matematice – později k ní přibyla druhá Jelenského kniha Pythagorovy sladkosti. Takže mladí zájemci o matematiku (což jsem kdysi byl i já) neměli z čeho vybírat...
na druhou stranu „Lilavati“ se muselo znát skoro nazpaměť... Ach, byly časy... Jejich největší výhodou bylo, že jsem byl tehdy... teenager. Dnes se z pohledu vystudovaného matematika dívám na Lilavati úplně jinak - možná jako horolezec na zatáčkách cesty do Shpiglasova Pshelench. Ani jedno, ani druhé neztrácí kouzlo... Svým charakteristickým stylem Ščepan Jelenskij, který v osobním životě vyznává tzv. národní ideje, v předmluvě píše:
Aniž bych se dotkl popisu národních charakteristik, řeknu, že ani po devadesáti letech neztratila Jelenského slova o matematice na aktuálnosti. Matematika vás naučí myslet. to je fakt. Můžeme vás naučit myslet jinak, jednodušeji a krásněji? Možná. Jenom... pořád nemůžeme. Svým studentům, kteří nechtějí matematiku, vysvětluji, že je to také test jejich inteligence. Pokud se nemůžete naučit opravdu jednoduchou matematickou teorii, pak... možná jsou vaše duševní schopnosti horší, než bychom si oba přáli...?
Známky v písku
A zde je první příběh v "Lylavati" - příběh popsaný francouzským filozofem Josephem de Maistre (1753-1821).
Námořník ze ztroskotané lodi byl vyvržen vlnami na prázdný břeh, který považoval za neobydlený. Najednou v pobřežním písku uviděl stopu geometrického útvaru nakresleného před někým. Tehdy si uvědomil, že ostrov není opuštěný!
Cituji de Mestri, Yelensky píše: geometrický obrázekbyl by to němý výraz pro toho nešťastníka, ztroskotaného, náhoda, ale on mu na první pohled ukázal proporce a počet, a to předznamenalo osvíceného muže. Tolik k historii.
Všimněte si, že stejnou reakci vyvolá námořník, například tím, že nakreslí písmeno K, ... a jakékoli další stopy přítomnosti osoby. Zde je geometrie idealizována.
Astronom Camille Flammarion (1847-1925) však navrhl, aby se civilizace pozdravily na dálku pomocí geometrie. V tom viděl jediný správný a možný pokus o komunikaci. Ukažme takovým Marťanům pythagorejské trojúhelníky... oni nám odpoví Thalesem, my jim odpovíme vzory Vieta, jejich kruh zapadne do trojúhelníku, tak začalo přátelství...
Spisovatelé jako Jules Verne nebo Stanislav Lem se k této myšlence vrátili. A v roce 1972 byly dlaždice s geometrickými (nejen) vzory umístěny na palubu sondy Pioneer, která dodnes brázdí rozlohy vesmíru, nyní téměř 140 astronomických jednotek od nás (1 I je průměrná vzdálenost Země od Země) . Slunce, tj. asi 149 milionů km). Dlaždice částečně navrhl astronom Frank Drake, tvůrce kontroverzního pravidla o počtu mimozemských civilizací.
Geometrie je úžasná. Všichni známe obecný pohled na původ této vědy. My (my lidé) jsme právě začali vyměřovat půdu (a později půdu) pro ty nejužitečnější účely. Určování vzdáleností, kreslení rovných čar, vyznačování pravých úhlů a počítání objemů se postupně stalo nutností. Proto celá věc geometrie („Měření Země“), odtud veškerá matematika ...
Tento jasný obraz historie vědy nás však na nějakou dobu zatemnil. Kdyby totiž byla matematika potřebná pouze pro provozní účely, nezabývali bychom se dokazováním jednoduchých vět. „Vidíte, že by to vůbec měla být pravda,“ řekl by člověk po kontrole, že v několika pravoúhlých trojúhelníkech se součet druhých mocnin přepony rovná druhé mocnině přepony. Proč takový formalismus?
Švestkový koláč musí být vynikající, počítačový program musí fungovat, stroj musí fungovat. Když jsem třicetkrát počítal kapacitu sudu a vše je v pořádku, tak proč jinak?
Mezitím staré Řeky napadlo, že je třeba najít nějaké formální důkazy.
Matematika tedy začíná Thalesem (625-547 př.nl). Předpokládá se, že to byl Milétus, kdo začal přemýšlet proč. Chytrým lidem nestačí, že něco viděli, že jsou o něčem přesvědčeni. Viděli potřebu důkazů, logického sledu argumentů od předpokladu k tezi.
Také chtěli víc. Byl to pravděpodobně Thales, kdo se jako první pokusil vysvětlit fyzikální jevy naturalistickým způsobem, bez božského zásahu. Evropská filozofie začala filozofií přírody – tím, co už je za fyzikou (odtud název: metafyzika). Ale základy evropské ontologie a přírodní filozofie položili Pýthagorejci (Pythagoras, asi 580-asi 500 př. Kr.).
V Crotone na jihu Apeninského poloostrova založil vlastní školu – dnes bychom ji nazvali sektou. Věda (v současném smyslu slova), mystika, náboženství a fantazie jsou úzce propojeny. Thomas Mann velmi krásně představil hodiny matematiky na německém gymnáziu v románu Doktor Faustus. Tento fragment přeložil Maria Kuretskaya a Witold Virpsha:
V zajímavé knize Charlese van Dorena Dějiny poznání od úsvitu dějin po současnost jsem našel velmi zajímavý úhel pohledu. V jedné z kapitol autor popisuje význam pythagorejské školy. Zarazil mě už samotný název kapitoly. Zní: „Vynález matematiky: Pythagorejci“.
Často diskutujeme o tom, zda se matematické teorie objevují (např. neznámé země) nebo vymýšlejí (např. stroje, které dříve neexistovaly). Někteří kreativní matematici se vidí jako výzkumníci, jiní jako vynálezci nebo konstruktéři, méně často kontrují.
Ale autor této knihy píše o vynálezu matematiky obecně.
Od přehánění k klamu
Po této dlouhé úvodní části přejdu na úplný začátek. geometriepopsat, jak přílišné spoléhání na geometrii může vědce uvést v omyl. Johannes Kepler je ve fyzice a astronomii známý jako objevitel tří zákonů pohybu nebeských těles. Za prvé, každá planeta ve sluneční soustavě se pohybuje kolem Slunce po eliptické dráze, v jejímž jednom z ohnisek je Slunce. Za druhé, v pravidelných intervalech kreslí přední paprsek planety, čerpaný ze Slunce, stejná pole. Za třetí, poměr druhé mocniny periody rotace planety kolem Slunce ke třetí mocnině hlavní poloosy její oběžné dráhy (tj. průměrná vzdálenost od Slunce) je konstantní pro všechny planety sluneční soustavy.
Možná to byl třetí zákon – k jeho stanovení bylo potřeba mnoho dat a výpočtů, což Keplera přimělo pokračovat v hledání vzorců v pohybu a poloze planet. Historie jeho nového „objevu“ je velmi poučná. Od starověku obdivujeme nejen pravidelné mnohostěny, ale také argumenty, které ukazují, že jich je ve vesmíru jen pět. Trojrozměrný mnohostěn se nazývá pravidelný, pokud jsou jeho plochy shodné pravidelné mnohoúhelníky a každý vrchol má stejný počet hran. Pro názornost, každý roh pravidelného mnohostěnu by měl „vypadat stejně“. Nejznámějším mnohostěnem je krychle. Každý viděl obyčejný kotník.
Pravidelný čtyřstěn je méně známý a ve škole se mu říká pravidelná trojúhelníková pyramida. Vypadá to jako pyramida. Zbývající tři pravidelné mnohostěny jsou méně známé. Osmistěn vznikne, když spojíme středy hran krychle. Dvanáctstěn a dvacetistěn už vypadají jako koule. Jsou vyrobeny z měkké kůže, takže by se v nich dalo pohodlně kopat. Úvaha, že neexistují žádné jiné pravidelné mnohostěny než pět platónských těles, je velmi dobrá. Nejprve si uvědomíme, že je-li těleso pravidelné, pak musí v každém vrcholu konvergovat stejný počet (ať q) stejných pravidelných mnohoúhelníků, nechť jsou to p-úhly. Nyní si musíme zapamatovat, jaký je úhel v pravidelném mnohoúhelníku. Pokud si někdo nepamatuje ze školy, připomínáme, jak najít správný vzor. Udělali jsme si výlet za roh. V každém vrcholu otočíme o stejný úhel a. Když polygon obejdeme a vrátíme se do výchozího bodu, udělali jsme p takových zatáček a celkem jsme se otočili o 360 stupňů.
Ale α je 180stupňový doplněk úhlu, který chceme vypočítat, a proto je
Našli jsme vzorec pro úhel (matematik by řekl: míry úhlu) pravidelného mnohoúhelníku. Zkontrolujeme: v trojúhelníku p = 3 není žádné a
Takhle. Když p = 4 (čtverec), pak
stupně je také v pořádku.
Co dostaneme za pětiúhelník? Co se tedy stane, když existuje q mnohoúhelníků, přičemž každý p má stejné úhly
stupně sestupně v jednom vrcholu? Pokud by to bylo v rovině, vytvořil by se úhel
stupně a nesmí mít více než 360 stupňů – protože pak se polygony překrývají.
Protože se však tyto polygony setkávají v prostoru, musí být úhel menší než plný úhel.
A tady je nerovnost, ze které to všechno vyplývá:
Vydělte to 180, vynásobte obě části p, objednejte (p-2) (q-2) < 4. Co následuje? Uvědomme si, že p a q musí být přirozená čísla a že p > 2 (proč? A co je p?) a také q > 2. Není mnoho způsobů, jak vytvořit součin dvou přirozených čísel menší než 4. 'vypíše je všechny. v tabulce 1.
Kresby nezveřejňuji, tyto figurky může každý vidět na internetu... Na internetu... neodmítnu lyrickou odbočku - snad je to zajímavé pro mladé čtenáře. V roce 1970 jsem vystoupil na semináři. Téma bylo těžké. Měl jsem málo času na přípravu, po večerech jsem seděl. Hlavní článek byl na místě pouze pro čtení. Místo bylo útulné, s pracovní atmosférou, no, zavíralo se v sedm. Pak mi nevěsta (dnes už moje žena) sama nabídla, že mi celý článek přepíše: asi tucet vytištěných stránek. Okopíroval jsem to (ne, brkem ne, měli jsme i propisky), přednáška se vydařila. Dnes jsem se pokusil najít tuto publikaci, která je již stará. Pamatuji si jen jméno autora... Hledání na internetu trvalo dlouho... celých patnáct minut. Přemýšlím o tom s úšklebkem a trochu neoprávněnou lítostí.
Vracíme se do Keplera a geometrie. Platón zřejmě předpověděl existenci páté pravidelné formy, protože mu chybělo něco sjednocujícího, pokrývajícího celý svět. Snad proto pověřil studenta (Theajtet), aby ji hledal. Jak bylo, tak bylo, na základě čeho byl dvanáctistěn objeven. Tento postoj Platóna nazýváme panteismus. Všichni vědci, až po Newtona, mu ve větší či menší míře podlehli. Od vysoce racionálního osmnáctého století se jeho vliv drasticky zmenšil, i když bychom se neměli stydět za to, že mu všichni tak či onak podléháme.
V Keplerově pojetí stavby sluneční soustavy bylo vše správně, experimentální data se shodovala s teorií, teorie byla logicky koherentní, velmi krásná...ale zcela falešná. V jeho době bylo známo pouze šest planet: Merkur, Venuše, Země, Mars, Jupiter a Saturn. Proč existuje jen šest planet? zeptal se Kepler. A jaká pravidelnost určuje jejich vzdálenost od Slunce? Předpokládal, že všechno spolu souvisí, že geometrie a kosmogonie spolu úzce souvisí. Ze spisů starých Řeků věděl, že existuje pouze pět pravidelných mnohostěnů. Viděl, že mezi šesti orbity je pět prázdných míst. Takže možná každé z těchto volných míst odpovídá nějakému pravidelnému mnohostěnu?
Po několika letech pozorování a teoretické práce vytvořil následující teorii, s jejíž pomocí poměrně přesně vypočítal rozměry drah, kterou prezentoval v knize "Mysterium Cosmographicum", vydané v roce 1596: Představte si obří kouli, jehož průměr je průměrem oběžné dráhy Merkuru při jeho ročním pohybu kolem Slunce. Pak si představte, že na této kouli je pravidelný osmistěn, na ní koule, na ní dvacetistěn, na ní opět koule, na ní dvanáctistěn, na ní další koule, na ní čtyřstěn, pak opět koule, krychle. a nakonec je na této krychli popsána koule.
Kepler dospěl k závěru, že průměry těchto po sobě jdoucích koulí jsou průměry oběžných drah jiných planet: Merkuru, Venuše, Země, Marsu, Jupiteru a Saturnu. Teorie se zdála být velmi přesná. Bohužel se to shodovalo s experimentálními daty. A co je lepším důkazem správnosti matematické teorie než její korespondence s experimentálními daty nebo pozorovacími daty, zvláště „vzatými z nebe“? Tyto výpočty shrnu v tabulce 2. Co tedy Kepler udělal? Zkoušel jsem a zkoušel, dokud to nevyšlo, tedy když se konfigurace (pořadí koulí) a výsledné výpočty shodovaly s pozorovacími daty. Zde jsou moderní Keplerova čísla a výpočty:
Člověk může podlehnout fascinaci teorií a věřit, že nepřesná jsou měření na obloze a ne výpočty provedené v tichosti dílny. Bohužel dnes víme, že planet je minimálně devět a že všechny shody výsledků jsou jen náhoda. Škoda. Bylo to tak krásné...
