Rozdělte na poloviny - trojúhelníky a čtverce

Přišel k nám nový rok 2019. Toto není prvočíslo. Součet číslic je 2 + 0 + 1 + 9 = 12, což znamená, že číslo je dělitelné 3. Na prvočíslo si bude muset dlouho počkat, až do roku 2027. Přesto se jen velmi málo čtenářů této epizody dožije XNUMX. století. Ale určitě jsou takoví v tomto světě, zejména něžné pohlaví. Žárlím? Moc ne... Ale musím psát o matematice. Poslední dobou píšu čím dál víc o základním školství.

Lze kruh rozdělit na dvě stejné poloviny? Rozhodně. Jak se jmenují díly, které dostanete? Ano, půlkruh. Je při dělení kruhu jednou čárou (jeden řez) nutné vést čáru středem kruhu? Ano. Nebo možná ne? Pamatujte, že toto je jeden řez, jedna přímka.

Jste přesvědčeni, že všichni přímka procházející středem kruhu je rozděluje na stejné části? Jste přesvědčeni, že abyste mohli rozdělit kruh na stejné části jedné přímky, musíte ji protáhnout středem?

Ospravedlnit svou víru. A co znamená "ospravedlnit"? Matematický důkaz se liší od „důkazu“ v právním smyslu. Advokát musí přesvědčit soudce a donutit tak Nejvyšší soud, aby shledal, že klient je nevinný. Pro mě bylo vždy nepřijatelné: jak moc závisí osud obžalovaného na výmluvnosti „papouška“ (tak trochu hanlivě charakterizujeme advokáta).

Matematikovi samotná víra nestačí. Důkaz musí být formální a teze musí být poslední formule v logické posloupnosti od předpokladu. Jedná se o poměrně složitý koncept, který je téměř nemožné implementovat v každodenním životě.

Možná je to lepší takto: žaloby a věty založené na "matematické logice" by byly prostě...bezduché. Podle všeho se to děje stále častěji. Ale já chci jen oh.

I formální důkaz jednoduchých věcí může být obtížný. Jak dokázat obě tato přesvědčení o rozdělení kruhu? Čím jednodušší to je jako první každá přímka procházející středem rozděluje kruh na dvě stejné části.

Můžeme říci toto: otočme obrázek na obr. 1 o 180 stupňů. Poté se zelené pole změní na modré a modré pole zezelená. Proto musí mít stejné čtverce. Pokud nakreslíte čáru neprocházející středem, pak bude jedno z polí zřetelně menší.

Trojúhelníky a čtverce

Tak pojďme dál čtverec. Máme to samé jako:

1. každá čára procházející středem čtverce jej rozděluje na dvě stejné části?
2. Pokud přímka rozděluje čtverec na dvě stejné části, měla by procházet středem čtverce?

Jsme si tím jisti? Situace je jiná než u kola (2-7).

Pojďme rovnostranný trojúhelník. Jak to rozpůlit? Snadné - stačí odříznout horní část a kolmo k základně (8).

Připomínám, že základnou trojúhelníku může být jakákoliv jeho strana, dokonce i ta nakloněná. Řez prochází středem trojúhelníku. Půlí ho nějaká čára procházející středem trojúhelníku?

Ne! Viz Obr. 9. Každý z barevných trojúhelníků má stejnou plochu (proč?), takže horní část velkého trojúhelníku má čtyři a spodní pět. Poměr polí není 1:1, ale 4:5.

Co když základ rozdělíme třeba na čtyři části a rozdělíme rovnostranný trojúhelník proříznout střed a bod ve čtvrtině základny? Čtenáři, vidíte, že na obrázku 10 je plocha „tyrkysového“ trojúhelníku 9/20 plochy celého trojúhelníku? Nevidíš? Škoda, nechám to na vás.

První otázka - vysvětlete, jak to je: základnu rozdělím na čtyři stejné části, nakreslím přímku přes dělicí bod a střed trojúhelníku a na opačné straně mi vyjde podivné dělení, v poměru 2:3? Proč? umíš to spočítat?

Nebo snad vy, čtenáři, jste letos maturant? Pokud ano, určete, na jaké pozici řádků je poměr polí minimální? Ty nevíš? Neříkám, že byste to měli hned napravit. Dávám ti dvě hodiny.

Pokud to nevyřešíš, tak... no, každopádně hodně štěstí s maturitní zkouškou. K tomuto tématu se ještě vrátím.

Probuďte nezávislost

- Můžete se divit? Tak se jmenuje kniha, kterou kdysi dávno vydal časopis Delta, matematický, fyzikální a astronomický měsíčník. Podívejte se na svět kolem sebe. Proč existují řeky s písčitým dnem (vždyť voda by se měla okamžitě absorbovat!).

Proč vzduchem plují mraky? Proč letadlo letí? (měl by okamžitě spadnout). Proč je v horách na vrcholcích někdy tepleji než v údolích? Proč je slunce v poledne na jižní polokouli na severu? Proč je součet druhých mocnin přepony roven druhé mocnině přepony? Proč se zdá, že tělo hubne, když je ponořeno do vody, když vytlačuje vodu?

Otázky, otázky, otázky. Ne všechny jsou okamžitě použitelné v každodenním životě, ale dříve nebo později budou. Uvědomujete si důležitost poslední otázky (o vodě vytlačené ponořeným tělesem)? Když si to starší pán uvědomil, běhal nahý po městě a křičel: "Heuréko, našel jsem to!" Nejenže objevil fyzikální zákon, ale také dokázal, že klenotník krále Volavky byl padělatel!!! Podívejte se na podrobnosti v hlubinách internetu.

Nyní se podíváme na další tvary.

Hexagon (11-14). Půlí jej nějaká čára procházející jeho středem? Má čára, která půlí šestiúhelník, procházet jeho středem?

Co takhle pětiúhelník (15, 16)? Osmiúhelník (17)? A pro elipsy (18)?

Jedním z nedostatků školní vědy je, že učíme „v devatenáctém století“ – zadáváme žákům problém a očekáváme, že jej vyřeší. co je na tom špatného? Nic – až na to, že za pár let náš student bude muset nejen reagovat na příkazy, které od někoho „dostal“, ale také vidět problémy, formulovat úkoly, pohybovat se v oblasti, kam se ještě nikdo nedostal.

Jsem tak starý, že sním o takové stabilitě: "Uč se, Johne, dělej boty a budeš pracovat jako švec do konce života." Vzdělání jako přechod do nejvyšší kasty. Úroky na celý život.

Jsem ale natolik „moderní“, že vím, že musím své studenty připravovat na profese, které ... ještě neexistují. To nejlepší, co mohu a mohu udělat, je ukázat studentům: ZMĚNÍTE SE? I na úrovni elementární matematiky.

Viz též: